Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado z=x y, P=\left(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado.
Informações fornecidas:
A superfície é o gráfico de z = x y.
O ponto dado é P=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right).
Pergunta: qual é a equação do plano tangente à superfície no ponto P?
Passo 2
Ideia e fórmula principal (explicação didática): quando uma superfície é dada como gráfico de uma função de duas variáveis z=f(x,y), o plano tangente em um ponto (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) é a aproximação linear de f em volta desse ponto. A fórmula da aproximação linear (plano tangente) é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui:
f_x(x_0,y_0) é a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x_0,y_0); ela mede a “inclinação” do gráfico quando mudamos x mantendo y fixo.
f_y(x_0,y_0) é a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x_0,y_0); ela mede a “inclinação” quando mudamos y mantendo x fixo.
Essa fórmula vem de aproximar f por sua expansão linear (primeiro termo de Taylor) em volta do ponto.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: a função é f(x,y)=x y. Vamos calcular as derivadas parciais (explicando passo a passo):
Para f_x(x,y) tratamos y como constante e derivamos em relação a x. A derivada de x y em relação a x é y. Portanto
f_x(x,y)=y.
Para f_y(x,y) tratamos x como constante e derivamos em relação a y. A derivada de x y em relação a y é x. Portanto
f_y(x,y)=x.
Essas são fáceis porque x y é um produto simples: derivando em x deixa só y, e derivando em y deixa só x.
Passo 4
Agora avaliamos f, f_x e f_y no ponto (x_0,y_0)=(1,\tfrac{1}{2}):
f(1,\tfrac{1}{2}) = 1\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}. (confere com a coordenada z do ponto P.)
Substituímos esses valores na fórmula do plano tangente (faça isso passo a passo na prova):
z = f(1,\tfrac{1}{2}) + f_x(1,\tfrac{1}{2})\,(x-1) + f_y(1,\tfrac{1}{2})\,(y-\tfrac{1}{2}).
Agora inserindo os números:
z = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2}\,(x-1) + 1\cdot\left(y-\tfrac{1}{2}\right).
Esse é o resultado vindo diretamente da fórmula da linearização. Na prova você pode deixar nessa forma ou simplificar algebricamente.
Passo 6
Verificação e forma alternativa (útil se pedirem forma geral): podemos encontrar um vetor normal ao plano tangente usando as parciais. Para z=f(x,y) uma normal é
\mathbf{n}=(-f_x(x_0,y_0),-f_y(x_0,y_0),1).
Aqui isso dá \mathbf{n}=(-\tfrac{1}{2},-1,1). A equação ponto-normal do plano é
Fazendo o produto escalar e simplificando obtém-se a mesma equação que vem da linearização. Também é bom verificar que o ponto P satisfaz a equação (substituindo x=1,y=\tfrac{1}{2} obtém-se z=\tfrac{1}{2}), o que confirma que está tudo consistente.