Determine a curvatura, torção, componentes normal e tangencial da aceleração para as seguintes curvas:
(c) \vec{r}=\vec{r}(t)=\left(3 t-t^{2}, 3 t^{2}, 2 t\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=\bigl(3t-t^{2},\;3t^{2},\;2t\bigr)
e pede:
  • a curvatura \kappa(t);
  • a torção \tau(t);
  • as componentes tangencial e normal da aceleração (ou seja, a_{T}(t) e a_{N}(t)).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de \vec{r}(t). Não há outras condições; deve-se trabalhar com as fórmulas padrão de curvas em \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas (velocidade, aceleração e terceira derivada). Definição: \vec{v}(t)=\vec{r}'(t) e \vec{a}(t)=\vec{r}''(t). Derivando coordenada a coordenada:
\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)=\bigl(3-2t,\;6t,\;2\bigr),
\vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=\bigl(-2,\;6,\;0\bigr).
A terceira derivada é
\vec{r}'''(t)=\bigl(0,\;0,\;0\bigr).
Observação rápida: \vec{a}(t) é constante neste caso.

Passo 3

Fórmula da curvatura: para uma curva regular com velocidade \vec{v}\neq\vec{0},
\kappa(t)=\frac{\|\vec{v}(t)\times\vec{a}(t)\|}{\|\vec{v}(t)\|^{3}}.
Aqui \times é o produto vetorial e \|\cdot\| a norma euclidiana. Vamos calcular \vec{v}\times\vec{a}. Montando o determinante:
\vec{v}(t)\times\vec{a}(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 3-2t & 6t & 2\\[4pt] -2 & 6 & 0 \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • componente \mathbf{i}: 6t\cdot 0 - 2\cdot 6 = -12;
  • componente \mathbf{j}: -\bigl((3-2t)\cdot 0 - 2\cdot(-2)\bigr) = -4;
  • componente \mathbf{k}: (3-2t)\cdot 6 - 6t\cdot(-2) = 18.
Portanto
\vec{v}(t)\times\vec{a}(t)=(-12,\,-4,\,18).
A norma desse vetor é
\|\vec{v}\times\vec{a}\|=\sqrt{(-12)^{2}+(-4)^{2}+18^{2}}=\sqrt{144+16+324}=\sqrt{484}=22.
Observação útil: aqui o produto vetorial é constante (independe de t).]

Passo 4

Agora precisamos da norma da velocidade \|\vec{v}(t)\|. Calculamos o quadrado da norma:
\|\vec{v}(t)\|^{2}=(3-2t)^{2}+(6t)^{2}+2^{2}=9-12t+4t^{2}+36t^{2}+4=40t^{2}-12t+13.
Logo
\|\vec{v}(t)\|=\sqrt{40t^{2}-12t+13}.
Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{22}{\bigl(\sqrt{40t^{2}-12t+13}\,\bigr)^{3}} =\frac{22}{\bigl(40t^{2}-12t+13\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Fórmula da torção: para curva regular com \vec{v}\times\vec{a}\neq\vec{0},
\tau(t)=\frac{\bigl(\vec{v}(t)\times\vec{a}(t)\bigr)\cdot\vec{r}'''(t)}{\|\vec{v}(t)\times\vec{a}(t)\|^{2}}.
Aqui \cdot é o produto escalar. No nosso caso \vec{r}'''(t)=\vec{0}, logo o numerador é zero e
\tau(t)=0
para todos os t onde \|\vec{v}\times\vec{a}\|\neq 0. (No nosso cálculo \|\vec{v}\times\vec{a}\|=22, diferente de zero, então \tau\equiv 0.)

Passo 6

Componente tangencial da aceleração: definição e cálculo prático. A componente tangencial (escalar) a_{T} é a taxa de variação da velocidade escalar (da rapidez) e pode ser obtida por
a_{T}(t)=\frac{d}{dt}\|\vec{v}(t)\|=\frac{\vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t)}{\|\vec{v}(t)\|}.
Calculamos o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{a}:
\vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t)=(3-2t)(-2)+(6t)(6)+2\cdot 0=-6+4t+36t=40t-6.
Portanto
a_{T}(t)=\frac{40t-6}{\sqrt{40t^{2}-12t+13}}.
Comentário rápido: este é o sinal e magnitude da variação da rapidez; se for positiva a rapidez aumenta, se negativa diminui.

Passo 7

Componente normal da aceleração: definição e cálculo prático. A componente normal (escalar) a_{N} pode ser obtida por
a_{N}(t)=\kappa(t)\,\|\vec{v}(t)\|^{2}.
Usando \kappa(t)=22/\|\vec{v}\|^{3} obtemos
a_{N}(t)=\frac{22}{\|\vec{v}(t)\|^{3}}\cdot\|\vec{v}(t)\|^{2}=\frac{22}{\|\vec{v}(t)\|}.
Substituindo \|\vec{v}(t)\|=\sqrt{40t^{2}-12t+13},
a_{N}(t)=\frac{22}{\sqrt{40t^{2}-12t+13}}.
Verificação alternativa (opcional): também vale a_{N}=\dfrac{\|\vec{v}\times\vec{a}\|}{\|\vec{v}\|}, que dá o mesmo valor porque \|\vec{v}\times\vec{a}\|=22.

Passo 8

Expressões para o versor tangente e a decomposição vetorial da aceleração (como usar os componentes). O versor tangente unitário é
\mathbf{T}(t)=\frac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|}=\frac{(3-2t,\;6t,\;2)}{\sqrt{40t^{2}-12t+13}}.
A aceleração se decompõe como
\vec{a}(t)=a_{T}(t)\,\mathbf{T}(t)+a_{N}(t)\,\mathbf{N}(t),
onde \mathbf{N}(t) é o versor normal (direção de \mathbf{N} dada por \mathbf{N}=(\vec{a}-a_{T}\mathbf{T})/a_{N}). Os módulos a_{T}(t) e a_{N}(t) foram calculados acima.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{22}{\bigl(40t^{2}-12t+13\bigr)^{3/2}}
\displaystyle \tau(t)=0
\displaystyle a_{T}(t)=\frac{40t-6}{\sqrt{40t^{2}-12t+13}}
\displaystyle a_{N}(t)=\frac{22}{\sqrt{40t^{2}-12t+13}}

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