Determine a curvatura, torção, componentes normal e tangencial da aceleração para as seguintes curvas:
(c) \vec{r}=\vec{r}(t)=\left(3 t-t^{2}, 3 t^{2}, 2 t\right).
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=\bigl(3t-t^{2},\;3t^{2},\;2t\bigr)
e pede:
a curvatura \kappa(t);
a torção \tau(t);
as componentes tangencial e normal da aceleração (ou seja, a_{T}(t) e a_{N}(t)).
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de \vec{r}(t). Não há outras condições; deve-se trabalhar com as fórmulas padrão de curvas em \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas (velocidade, aceleração e terceira derivada). Definição: \vec{v}(t)=\vec{r}'(t) e \vec{a}(t)=\vec{r}''(t). Derivando coordenada a coordenada:
\vec{v}(t)=\vec{r}'(t)=\bigl(3-2t,\;6t,\;2\bigr),
\vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=\bigl(-2,\;6,\;0\bigr).
A terceira derivada é
\vec{r}'''(t)=\bigl(0,\;0,\;0\bigr).
Observação rápida: \vec{a}(t) é constante neste caso.
Passo 3
Fórmula da curvatura: para uma curva regular com velocidade \vec{v}\neq\vec{0},
Aqui \cdot é o produto escalar. No nosso caso \vec{r}'''(t)=\vec{0}, logo o numerador é zero e
\tau(t)=0
para todos os t onde \|\vec{v}\times\vec{a}\|\neq 0. (No nosso cálculo \|\vec{v}\times\vec{a}\|=22, diferente de zero, então \tau\equiv 0.)
Passo 6
Componente tangencial da aceleração: definição e cálculo prático. A componente tangencial (escalar) a_{T} é a taxa de variação da velocidade escalar (da rapidez) e pode ser obtida por
Verificação alternativa (opcional): também vale a_{N}=\dfrac{\|\vec{v}\times\vec{a}\|}{\|\vec{v}\|}, que dá o mesmo valor porque \|\vec{v}\times\vec{a}\|=22.
Passo 8
Expressões para o versor tangente e a decomposição vetorial da aceleração (como usar os componentes). O versor tangente unitário é
onde \mathbf{N}(t) é o versor normal (direção de \mathbf{N} dada por \mathbf{N}=(\vec{a}-a_{T}\mathbf{T})/a_{N}). Os módulos a_{T}(t) e a_{N}(t) foram calculados acima.