Como a força gravitacional do Sol sobre um planeta é muito maior que a força exercida por outros astros, podemos ignorar todos os outros corpos, exceto o Sol, e um planeta girando em torno dele. Considere um sistema de coordenadas com o Sol em seu centro e seja r=r(t) a posição do planeta. Sejam v=r^prime, a=v^prime, m a massa do planeta, M a massa do Sol, F a força da gravidade sobre o planeta, G a constante de Gravitação, barr=|r| e u=rbarr.
(a) Igualando as duas expressões para F, verifique que os vetores a e r são paralelos e conclua que a times r=0.

Passo 1

O enunciado trata do movimento de um planeta de massa m sob ação apenas da força gravitacional do Sol de massa M. Vamos usar a segunda lei de Newton e a lei da gravitação universal para resolver.

Passo 2

Pela segunda lei de Newton, temos vec F = m,vec a. Pela lei da gravitação universal, a força exercida pelo Sol é
vec F = -G,M,mbar r^2,u
onde bar r = |vec r| e u=vec rbar r.
Igualando as duas expressões de vec F, obtemos
$$
m,\vec a = -G,\frac{M,m}{\bar r^2},u m,vec a = -G,M,mbar r^2,u
\vec a = -G,\frac{M}{\bar r^2},u$$.

Passo 3

Note que u é o versor na direção de vec r, ou seja, u é paralelo a vec r. Como vec a é uma múltiplo escalar de u, concluímos que vec a também é paralelo a vec r. Do fato de dois vetores paralelos, temos que seu produto vetorial é zero. Logo, concluímos que vec a times vec r = 0.

Resposta

vec a times vec r = 0

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