Como a força gravitacional do Sol sobre um planeta é muito maior que a força exercida por outros astros, podemos ignorar todos os outros corpos, exceto o Sol, e um planeta girando em torno dele. Considere um sistema de coordenadas com o Sol em seu centro e seja
a posição do planeta. Sejam
a massa do planeta,
a massa do Sol,
a força da gravidade sobre o planeta,
a constante de Gravitação,
e
.
(a) Igualando as duas expressões para
, verifique que os vetores
e
são paralelos e conclua que
.
(a) Igualando as duas expressões para
Passo 1
O enunciado trata do movimento de um planeta de massa
sob ação apenas da força gravitacional do Sol de massa
. Vamos usar a segunda lei de Newton e a lei da gravitação universal para resolver.
Passo 2
Pela segunda lei de Newton, temos
. Pela lei da gravitação universal, a força exercida pelo Sol é
onde
Igualando as duas expressões de
$$
m,\vec a = -G,\frac{M,m}{\bar r^2},u
\vec a = -G,\frac{M}{\bar r^2},u$$.
Passo 3
Note que
é o versor na direção de
, ou seja,
é paralelo a
. Como
é uma múltiplo escalar de
, concluímos que
também é paralelo a
. Do fato de dois vetores paralelos, temos que seu produto vetorial é zero. Logo, concluímos que
.