Determine a densidade de cargas
devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico utilizando a
equação de Maxwell:
Sabendo que a equação para cálculo de
é dada por:
e que as expressões para cálculo do divergente da densidade de fluxo elétrico
em coordenas cartesianas e cilíndricas é:
- CARTESIANAS:
- CILINDRICAS:
Sabendo que a equação para cálculo de
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a densidade volumétrica de carga
associada ao campo de densidade de fluxo elétrico dado.
Informações dadas:
- A densidade de fluxo elétrico é
e está expressa em coordenadas cartesianas. - A relação entre densidade de carga e
é . - As fórmulas do divergente em coordenadas cartesianas e cilíndricas foram fornecidas (vou usar a cartesianas porque
foi dada em componentes ).
O que precisamos fornecer:
(e a unidade).
Passo 2
Entendendo o divergente na prática (aula rápida e amigável):
- O divergente de um campo vetorial
mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume num ponto. Para cálculo usamos derivadas parciais. - Em coordenadas cartesianas a fórmula é
- Aqui
são as componentes do vetor ao longo dos versores . A notação indica derivada parcial em relação a , mantendo constantes.
Passo 3
Identificar as componentes do campo dado:
-
. -
. -
(não foi dada componente em , logo é zero).
Vou calcular cada derivada parcial separadamente, sem pular etapas.
Passo 4
Cálculo de
:
-
. Trate como constante quando derivamos em relação a . - A derivada de
em relação a é , porque e o fator fica multiplicando.
Passo 5
Cálculo de
:
-
. Derivando em relação a : -
.
Passo 6
Cálculo de
:
-
, portanto sua derivada em relação a é zero:
Passo 7
Somando as parcelas para obter o divergente:
- Usando a fórmula
, - Substituindo os resultados obtidos:
- Portanto a densidade volumétrica de carga depende apenas de
e é linear em .
Passo 8
Verificação rápida (opcional, só pra ficar seguro — segue o raciocínio):
- Se quiséssemos reescrever o campo em coordenadas cilíndricas e aplicar a fórmula cilíndrica do divergente, ao final também obteríamos
(usando e fazendo a conversão de componentes). Isso confirma consistência, mas não é necessário na prova se o campo já está em cartesianas.