Determine a densidade de cargas \left(\rho_{v}\right) devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico utilizando a 1^{\mathrm{a}} equação de Maxwell:
\vec{D}=5 x y \vec{a}_{x}+4 y^{2} \vec{a}_{y}+\left[C / m^{3}\right]
Sabendo que a equação para cálculo de \rho_{v} é dada por: \rho_{v}=\vec{\nabla} \bullet \vec{D} e que as expressões para cálculo do divergente da densidade de fluxo elétrico (\vec{\nabla} \bullet \vec{D}) em coordenas cartesianas e cilíndricas é:
  • CARTESIANAS: \tilde{\nabla} \cdot \tilde{D}=\frac{\partial D_{x}}{\partial x}+\frac{\partial D_{y}}{\partial y}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}
  • CILINDRICAS: \bar{\nabla} \bullet \bar{D}=\frac{1}{\rho} \frac{\partial\left(\rho D_{\rho}\right)}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial D_{\varphi}}{\partial \varphi}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a densidade volumétrica de carga \rho_{v} associada ao campo de densidade de fluxo elétrico dado.
Informações dadas:
  • A densidade de fluxo elétrico é \vec{D}=5 x y \,\vec{a}_{x}+4 y^{2}\,\vec{a}_{y} e está expressa em coordenadas cartesianas.
  • A relação entre densidade de carga e \vec{D} é \rho_{v}=\vec{\nabla}\bullet\vec{D}.
  • As fórmulas do divergente em coordenadas cartesianas e cilíndricas foram fornecidas (vou usar a cartesianas porque \vec{D} foi dada em componentes x,y,z).
O que precisamos fornecer: \rho_{v}(x,y,z) (e a unidade).

Passo 2

Entendendo o divergente na prática (aula rápida e amigável):
  • O divergente de um campo vetorial \vec{D}=D_{x}\,\vec{a}_{x}+D_{y}\,\vec{a}_{y}+D_{z}\,\vec{a}_{z} mede a “taxa de saída” do campo por unidade de volume num ponto. Para cálculo usamos derivadas parciais.
  • Em coordenadas cartesianas a fórmula é
\tilde{\nabla}\cdot\tilde{D}=\frac{\partial D_{x}}{\partial x}+\frac{\partial D_{y}}{\partial y}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}.
  • Aqui D_{x},D_{y},D_{z} são as componentes do vetor \vec{D} ao longo dos versores \vec{a}_{x},\vec{a}_{y},\vec{a}_{z}. A notação \partial/\partial x indica derivada parcial em relação a x, mantendo y,z constantes.

Passo 3

Identificar as componentes do campo dado:
  • \;D_{x}(x,y,z)=5 x y.
  • \;D_{y}(x,y,z)=4 y^{2}.
  • \;D_{z}(x,y,z)=0 (não foi dada componente em \vec{a}_{z}, logo é zero).
Vou calcular cada derivada parcial separadamente, sem pular etapas.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial D_{x}}{\partial x}:
  • D_{x}=5 x y. Trate y como constante quando derivamos em relação a x.
  • A derivada de 5 x y em relação a x é 5 y, porque \dfrac{d}{dx}(x)=1 e o fator 5y fica multiplicando.
\frac{\partial D_{x}}{\partial x}=5y.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial D_{y}}{\partial y}:
  • D_{y}=4 y^{2}. Derivando em relação a y:
  • \dfrac{d}{dy}(4 y^{2})=4\cdot 2 y=8y.
\frac{\partial D_{y}}{\partial y}=8y.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial D_{z}}{\partial z}:
  • D_{z}=0, portanto sua derivada em relação a z é zero:
\frac{\partial D_{z}}{\partial z}=0.

Passo 7

Somando as parcelas para obter o divergente:
  • Usando a fórmula \rho_{v}=\vec{\nabla}\bullet\vec{D}=\dfrac{\partial D_{x}}{\partial x}+\dfrac{\partial D_{y}}{\partial y}+\dfrac{\partial D_{z}}{\partial z},
  • Substituindo os resultados obtidos:
\rho_{v}=5y+8y+0=13y.
  • Portanto a densidade volumétrica de carga depende apenas de y e é linear em y.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, só pra ficar seguro — segue o raciocínio):
  • Se quiséssemos reescrever o campo em coordenadas cilíndricas e aplicar a fórmula cilíndrica do divergente, ao final também obteríamos 13y (usando x=\rho\cos\varphi,\;y=\rho\sin\varphi e fazendo a conversão de componentes). Isso confirma consistência, mas não é necessário na prova se o campo já está em cartesianas.

Resposta

\rho_{v}=13\,y\\ \mathrm{C/m^{3}}

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