Determine a densidade de cargas
devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico utilizando a
equação de Maxwell:
Sabendo que a equação para cálculo de
é dada por:
e que as expressões para cálculo do divergente da densidade de fluxo elétrico
em coordenas cartesianas e cilíndricas é:
- CARTESIANAS:
- CILINDRICAS:
Sabendo que a equação para cálculo de
Passo 1
O enunciado pede para determinar a densidade de carga volumétrica
a partir da densidade de fluxo elétrico dada. As informações fornecidas são:
- A densidade de fluxo elétrico é
Aqui
(sem subíndice) é a coordenada radial cilíndrica,
é o ângulo azimutal e
é a coordenada axial. Note também que
(com subíndice) é a densidade volumétrica de carga que queremos encontrar — atenção:
e
são coisas diferentes.
- A relação que devemos usar é a 1ª equação de Maxwell (lei de Gauss no ponto), dada por
- A expressão do divergente em coordenadas cilíndricas, que nos foi fornecida, é
Não há outras perguntas; a tarefa é aplicar essa fórmula ao
dado e obter
.
Passo 2
Por que usar coordenadas cilíndricas e qual é a fórmula que vamos aplicar?
- Escolhemos coordenadas cilíndricas porque o campo
foi dado já nos componentes cilíndricos . Isso evita conversões desnecessárias e torna as derivadas diretas. - Repetindo a fórmula do divergente em cilíndricas (cada termo explicado):
-
é a coordenada radial (distância ao eixo). -
é a componente de na direção radial . -
é a componente na direção azimutal . -
é a componente axial. - O termo
aparece porque as linhas de base variam com em coordenadas cilíndricas. - O termo
representa variação angular por unidade de arco . - O termo
é a variação axial usual.
-
Vamos agora aplicar essa fórmula termo a termo.
Passo 3
Identificar os componentes
a partir do enunciado:
Vou calcular cada parcela do divergente separadamente.
Passo 4
Calcular o primeiro termo
.
- Primeiro calcule
:
- Agora derive em relação a
:
- Divida por
:
Observe: a derivada de
é
; o
é tratado como constante ao derivar em relação a
.
Passo 5
Calcular o segundo termo
.
- Diferencie
em relação a :
- Agora divida por
:
Note que ao derivar em
a
é constante.
Passo 6
Calcular o terceiro termo
.
- Como
, derivando em obtemos:
Aqui
é constante em relação a
.
Passo 7
Somar os três termos para obter
.
- Somando:
- Combine os termos semelhantes (os dois primeiros têm fator
):
- Portanto:
- Fatorando
fica mais compacto:
Unidade: como
foi dada em
e
tem unidade de
, o resultado tem unidade correta
.
Passo 8
Pequena verificação numérica por curiosidade (opcional para a prova): em
e
temos
, então
Isso é só para sentir que os termos se combinam de forma plausível.