Determine a densidade de cargas \left(\rho_{v}\right) devido a cada uma das seguintes densidades de fluxo elétrico utilizando a 1^{\mathrm{a}} equação de Maxwell:
\vec{D}=4 \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi \vec{a}_{\rho}+5 \rho^{2} \cos \varphi \vec{a}_{\emptyset}+2 z \operatorname{sen} \varphi \vec{a}_{z}\left[C / m^{3}\right]
Sabendo que a equação para cálculo de \rho_{v} é dada por: \rho_{v}=\vec{\nabla} \bullet \vec{D} e que as expressões para cálculo do divergente da densidade de fluxo elétrico (\vec{\nabla} \bullet \vec{D}) em coordenas cartesianas e cilíndricas é:
  • CARTESIANAS: \tilde{\nabla} \cdot \tilde{D}=\frac{\partial D_{x}}{\partial x}+\frac{\partial D_{y}}{\partial y}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}
  • CILINDRICAS: \bar{\nabla} \bullet \bar{D}=\frac{1}{\rho} \frac{\partial\left(\rho D_{\rho}\right)}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho} \frac{\partial D_{\varphi}}{\partial \varphi}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a densidade de carga volumétrica \rho_{v} a partir da densidade de fluxo elétrico dada. As informações fornecidas são:
  • A densidade de fluxo elétrico é
\vec{D}=4\,\rho^{2}\sin\varphi\,\vec{a}_{\rho}+5\,\rho^{2}\cos\varphi\,\vec{a}_{\varphi}+2\,z\sin\varphi\,\vec{a}_{z}\quad\left[\text{C}/\text{m}^3\right].
Aqui \rho (sem subíndice) é a coordenada radial cilíndrica, \varphi é o ângulo azimutal e z é a coordenada axial. Note também que \rho_{v} (com subíndice) é a densidade volumétrica de carga que queremos encontrar — atenção: \rho e \rho_{v} são coisas diferentes.
  • A relação que devemos usar é a 1ª equação de Maxwell (lei de Gauss no ponto), dada por
\rho_{v}=\nabla\cdot\vec{D}.
  • A expressão do divergente em coordenadas cilíndricas, que nos foi fornecida, é
\nabla\cdot\vec{D}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial\!\left(\rho D_{\rho}\right)}{\partial \rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}.
Não há outras perguntas; a tarefa é aplicar essa fórmula ao \vec{D} dado e obter \rho_{v}(\rho,\varphi,z).

Passo 2

Por que usar coordenadas cilíndricas e qual é a fórmula que vamos aplicar?
  • Escolhemos coordenadas cilíndricas porque o campo \vec{D} foi dado já nos componentes cilíndricos D_{\rho},D_{\varphi},D_{z}. Isso evita conversões desnecessárias e torna as derivadas diretas.
  • Repetindo a fórmula do divergente em cilíndricas (cada termo explicado):
    • \rho é a coordenada radial (distância ao eixo).
    • D_{\rho} é a componente de \vec{D} na direção radial \vec{a}_{\rho}.
    • D_{\varphi} é a componente na direção azimutal \vec{a}_{\varphi}.
    • D_{z} é a componente axial.
    • O termo \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial(\rho D_{\rho})}{\partial \rho} aparece porque as linhas de base variam com \rho em coordenadas cilíndricas.
    • O termo \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi} representa variação angular por unidade de arco (\rho\,d\varphi).
    • O termo \dfrac{\partial D_{z}}{\partial z} é a variação axial usual.
Vamos agora aplicar essa fórmula termo a termo.

Passo 3

Identificar os componentes D_{\rho},D_{\varphi},D_{z} a partir do enunciado:
D_{\rho}=4\,\rho^{2}\sin\varphi,
D_{\varphi}=5\,\rho^{2}\cos\varphi,
D_{z}=2\,z\sin\varphi.
Vou calcular cada parcela do divergente separadamente.

Passo 4

Calcular o primeiro termo \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial(\rho D_{\rho})}{\partial \rho}.
  • Primeiro calcule \rho D_{\rho}:
\rho D_{\rho}=\rho\cdot\big(4\,\rho^{2}\sin\varphi\big)=4\,\rho^{3}\sin\varphi.
  • Agora derive em relação a \rho:
\frac{\partial\!\left(\rho D_{\rho}\right)}{\partial \rho}=\frac{\partial}{\partial \rho}\big(4\,\rho^{3}\sin\varphi\big)=4\cdot 3\,\rho^{2}\sin\varphi=12\,\rho^{2}\sin\varphi.
  • Divida por \rho:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial\!\left(\rho D_{\rho}\right)}{\partial \rho}=\frac{1}{\rho}\big(12\,\rho^{2}\sin\varphi\big)=12\,\rho\sin\varphi.
Observe: a derivada de \rho^{3} é 3\rho^{2}; o \sin\varphi é tratado como constante ao derivar em relação a \rho.

Passo 5

Calcular o segundo termo \dfrac{1}{\rho}\dfrac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi}.
  • Diferencie D_{\varphi}=5\,\rho^{2}\cos\varphi em relação a \varphi:
\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial \varphi}=\frac{\partial}{\partial \varphi}\big(5\,\rho^{2}\cos\varphi\big)=5\,\rho^{2}\cdot(-\sin\varphi)=-5\,\rho^{2}\sin\varphi.
  • Agora divida por \rho:
\frac{1}{\rho}\frac{\partial D_{\varphi}}{\partial\varphi}=\frac{1}{\rho}\big(-5\,\rho^{2}\sin\varphi\big)=-5\,\rho\sin\varphi.
Note que ao derivar em \varphi a \rho^{2} é constante.

Passo 6

Calcular o terceiro termo \dfrac{\partial D_{z}}{\partial z}.
  • Como D_{z}=2\,z\sin\varphi, derivando em z obtemos:
\frac{\partial D_{z}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(2\,z\sin\varphi\big)=2\sin\varphi.
Aqui \sin\varphi é constante em relação a z.

Passo 7

Somar os três termos para obter \rho_{v}=\nabla\cdot\vec{D}.
  • Somando:
\rho_{v}=12\,\rho\sin\varphi \;+\;(-5\,\rho\sin\varphi)\;+\;2\sin\varphi.
  • Combine os termos semelhantes (os dois primeiros têm fator \rho\sin\varphi):
12\,\rho\sin\varphi-5\,\rho\sin\varphi=7\,\rho\sin\varphi.
  • Portanto:
\rho_{v}=7\,\rho\sin\varphi+2\sin\varphi.
  • Fatorando \sin\varphi fica mais compacto:
\rho_{v}=\sin\varphi\,(7\,\rho+2).
Unidade: como \vec{D} foi dada em \text{C}/\text{m}^3 e \rho_{v}=\nabla\cdot\vec{D} tem unidade de \text{C}/\text{m}^3, o resultado tem unidade correta \left[\text{C}/\text{m}^3\right].

Passo 8

Pequena verificação numérica por curiosidade (opcional para a prova): em \rho=1 e \varphi=\pi/2 temos \sin\varphi=1, então
\rho_{v}=(7\cdot 1+2)\cdot 1=9\\ \text{C}/\text{m}^3.
Isso é só para sentir que os termos se combinam de forma plausível.

Resposta

\rho_{v}=\sin\varphi\,(7\,\rho+2)\\ \left[\text{C}/\text{m}^3\right]

Exercícios relacionados