Questão ( 1,5 ponto): No potencial
, que densidade de cargas está
Dados:
equação de Maxwell:
Densidade volumétrica de cargas:
Dados:
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| Densidade volumétrica de cargas: |
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Passo 1
O enunciado dá o potencial escalar dependente apenas da coordenada radial:
e pede a densidade volumétrica de carga associada. As informações/relacionamentos fornecidos no enunciado que vamos usar são:
a expressão do gradiente em coordenadas esféricas (fornecida):
e a primeira equação de Maxwell (na forma com
):
Também sabemos (caso usual, vácuo) que
. Não vou resolver nada aqui, só deixei claro o que o problema dá e o que é pedido.
Passo 2
Escolha do método: como
depende somente de
, é mais simples usar a relação entre densidade de carga e o potencial através do Laplaciano:
logo
Isto é importante: em vácuo a densidade está relacionada ao laplaciano do potencial por
. A explicação curta do porquê:
, multiplica por
dá
, e aplicar a divergência leva ao laplaciano de
. Como
só depende de
, usamos a forma radial do laplaciano em coordenadas esféricas:
que é a fórmula do laplaciano para funções sphericamente simétricas (explico por quê: em coordenadas esféricas o laplaciano tem termos angulares, mas se
não depende de
nem
esses termos desaparecem, restando apenas a expressão acima).
Passo 3
Calcule a derivada radial de
. Temos
então
Aqui usei a regra básica de derivação de potências:
.
Passo 4
Monte o interior do laplaciano radial:
Agora derivamos esse resultado em relação a
:
Novamente usei a regra da potência:
.
Passo 5
Substitua na fórmula do laplaciano:
Observação: o resultado é uma constante (independente de
), porque o termo
do denominador cancela o
do numerador. Isso significa que o laplaciano do potencial é constante em todo o espaço (para essa expressão de
).
Passo 6
Agora aplicamos a relação entre densidade de carga e o laplaciano:
Portanto a densidade volumétrica de carga é uma constante igual a
. Em unidades do SI,
(permissividade do vácuo) vale aproximadamente
(ou
). Calculando numericamente:
Arredondando,
.
Passo 7
Interpretação rápida e dica para a prova: o resultado é uma densidade de carga uniforme e positiva por toda a região onde esse potencial vale. Procedimento para problemas semelhantes: 1) reconhecer simetria (aqui só
); 2) usar
; 3) aplicar a forma apropriada do laplaciano (radial se simetria esférica). Se o potencial dependesse de
ou
teríamos de usar a forma completa do laplaciano em coordenadas esféricas.