5^{\mathrm{a}} Questão ( 1,5 ponto): No potencial V=-5 r^{2}[V / m], que densidade de cargas está
Dados: \vec{E}=-\vec{\nabla} V
\vec{\nabla} V=\frac{\partial V}{\partial r} \overrightarrow{\mathbf{a}}_{r}+\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} \overrightarrow{\mathbf{a}}_{\theta}+\frac{1}{r \operatorname{sen} \theta} \frac{\partial V}{\partial \varphi} \overrightarrow{\mathbf{a}}_{\varphi}
1^{1} equação de Maxwell: \rho_{v}=\vec{\nabla} \bullet \vec{D}
Densidade volumétrica de cargas: \rho_{v}=d Q / d v

Passo 1

O enunciado dá o potencial escalar dependente apenas da coordenada radial:
V = -5 r^{2}
e pede a densidade volumétrica de carga associada. As informações/relacionamentos fornecidos no enunciado que vamos usar são:
\vec{E} = -\vec{\nabla} V
a expressão do gradiente em coordenadas esféricas (fornecida):
\vec{\nabla} V=\frac{\partial V}{\partial r} \,\overrightarrow{\mathbf{a}}_{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial \theta}\,\overrightarrow{\mathbf{a}}_{\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial V}{\partial \varphi}\,\overrightarrow{\mathbf{a}}_{\varphi}
e a primeira equação de Maxwell (na forma com \vec{D}):
\rho_{v}=\vec{\nabla}\cdot\vec{D}.
Também sabemos (caso usual, vácuo) que \vec{D}=\varepsilon_{0}\vec{E}. Não vou resolver nada aqui, só deixei claro o que o problema dá e o que é pedido.

Passo 2

Escolha do método: como V depende somente de r, é mais simples usar a relação entre densidade de carga e o potencial através do Laplaciano:
\vec{D}=\varepsilon_{0}\vec{E}=-\varepsilon_{0}\vec{\nabla}V
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\rho_{v}=\vec{\nabla}\cdot\vec{D}=-\varepsilon_{0}\,\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}V)=-\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V.
Isto é importante: em vácuo a densidade está relacionada ao laplaciano do potencial por \rho_{v}=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}V. A explicação curta do porquê: \vec{E}=-\nabla V, multiplica por \varepsilon_{0} \vec{D}, e aplicar a divergência leva ao laplaciano de V. Como V só depende de r, usamos a forma radial do laplaciano em coordenadas esféricas:
\nabla^{2}V=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right),
que é a fórmula do laplaciano para funções sphericamente simétricas (explico por quê: em coordenadas esféricas o laplaciano tem termos angulares, mas se V não depende de \theta nem \varphi esses termos desaparecem, restando apenas a expressão acima).

Passo 3

Calcule a derivada radial de V. Temos
V(r)=-5 r^{2},
então
\frac{dV}{dr}=-10 r.
Aqui usei a regra básica de derivação de potências: \dfrac{d}{dr}(r^{n})=n r^{n-1}.

Passo 4

Monte o interior do laplaciano radial:
r^{2}\frac{dV}{dr}=r^{2}\cdot(-10 r)=-10 r^{3}.
Agora derivamos esse resultado em relação a r:
\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}\frac{dV}{dr}\bigr)=\frac{d}{dr}(-10 r^{3})=-30 r^{2}.
Novamente usei a regra da potência: \dfrac{d}{dr}(r^{3})=3 r^{2}.

Passo 5

Substitua na fórmula do laplaciano:
\nabla^{2}V=\frac{1}{r^{2}}\bigl(-30 r^{2}\bigr)=-30.
Observação: o resultado é uma constante (independente de r), porque o termo r^{2} do denominador cancela o r^{2} do numerador. Isso significa que o laplaciano do potencial é constante em todo o espaço (para essa expressão de V).

Passo 6

Agora aplicamos a relação entre densidade de carga e o laplaciano:
\rho_{v}=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}V=-\varepsilon_{0}\cdot(-30)=30\,\varepsilon_{0}.
Portanto a densidade volumétrica de carga é uma constante igual a 30\varepsilon_{0}. Em unidades do SI, \varepsilon_{0} (permissividade do vácuo) vale aproximadamente \varepsilon_{0}=8,854187817\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} (ou \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}). Calculando numericamente:
\rho_{v}=30\cdot 8,854187817\times10^{-12}\,\mathrm{C/m^{3}} \approx 2,656\times10^{-10}\,\mathrm{C/m^{3}}.
Arredondando, \rho_{v}\approx 2,66\times10^{-10}\,\mathrm{C/m^{3}}.

Passo 7

Interpretação rápida e dica para a prova: o resultado é uma densidade de carga uniforme e positiva por toda a região onde esse potencial vale. Procedimento para problemas semelhantes: 1) reconhecer simetria (aqui só r); 2) usar \rho_{v}=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}V; 3) aplicar a forma apropriada do laplaciano (radial se simetria esférica). Se o potencial dependesse de \theta ou \varphi teríamos de usar a forma completa do laplaciano em coordenadas esféricas.

Resposta

\rho_{v}=30\,\varepsilon_{0}
\rho_{v}\approx 2,66\times10^{-10}\\ \mathrm{C/m^{3}}

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