Determine a derivada:
f(x)=arctg^2(cos x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(arctg(cos x)r)^2
Aqui vamos usar a regra da cadeia duas vezes: primeiro para a função quadrática umapsto u^2 e depois para a função arctg(v), além da derivada de cos x.

Passo 2

Definimos u(x)=l(arctg(cos x)r)^2. Pela regra da cadeia,
u'(x)=2,l(arctg(cos x)r)cdotddxl[arctg(cos x)r]

Passo 3

Agora derivamos h(x)=arctg(cos x). De novo pela cadeia, se v(x)=cos x então
ddxl[arctg(v)r] =v'(x)1+v(x)^2 =-sin x1+cos^2x

Passo 4

Substituindo em u'(x), obtemos
f'(x) =2,arctg(cos x);times;-sin x1+cos^2x =-2,sin x,arctg(cos x)1+cos^2x

Resposta

f'(x)=-2,sin x,arctg(cos x)1+cos^2x

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