Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\left(\ln t, \frac{t}{t-1}, e^{-t}\right)
\mathbf{r}(t)=\left(\ln t, \frac{t}{t-1}, e^{-t}\right)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar o domínio da função vetorial
. O domínio é basicamente o conjunto de valores de
para os quais todas as componentes da função estão bem definidas. Vamos precisar lembrar como cada uma dessas funções funciona para ver onde elas podem dar problema.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente:
. O logaritmo natural
só está definido quando o argumento
é positivo. Então, aqui a gente tem que:
Isso significa que
tem que ser maior que zero para que
exista.
Passo 3
Agora, a segunda componente:
. Essa é uma função racional, e pra ela estar definida, o denominador não pode ser zero. Então:
Ou seja,
não pode ser igual a 1, porque aí teríamos divisão por zero, que é indefinida.
Passo 4
A última componente é
. A função exponencial está definida para todos os números reais. Não tem restrição aqui, então:
Isso não adiciona nenhuma limitação além das que já temos.
Passo 5
Agora, pra determinar o domínio completo da função vetorial
, a gente precisa considerar todas as restrições juntas. Ou seja:
Então, o conjunto de valores de
que satisfaz essas duas condições simultaneamente é:
Resposta
O domínio da função vetorial é todo número real positivo exceto
. Em notação matemática: