Determine o domínio das funções vetoriais.
\mathbf{r}(t)=\left(\ln t, \frac{t}{t-1}, e^{-t}\right)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar o domínio da função vetorial r(t) = (ln t, tt-1, e^-t). O domínio é basicamente o conjunto de valores de t para os quais todas as componentes da função estão bem definidas. Vamos precisar lembrar como cada uma dessas funções funciona para ver onde elas podem dar problema.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: ln t. O logaritmo natural ln t só está definido quando o argumento t é positivo. Então, aqui a gente tem que:
t > 0
Isso significa que t tem que ser maior que zero para que ln t exista.

Passo 3

Agora, a segunda componente: tt-1. Essa é uma função racional, e pra ela estar definida, o denominador não pode ser zero. Então:
t - 1 neq 0 implies t neq 1
Ou seja, t não pode ser igual a 1, porque aí teríamos divisão por zero, que é indefinida.

Passo 4

A última componente é e^-t. A função exponencial está definida para todos os números reais. Não tem restrição aqui, então:
t in R
Isso não adiciona nenhuma limitação além das que já temos.

Passo 5

Agora, pra determinar o domínio completo da função vetorial r(t), a gente precisa considerar todas as restrições juntas. Ou seja:
t > 0 e t neq 1
Então, o conjunto de valores de t que satisfaz essas duas condições simultaneamente é:

Resposta

O domínio da função vetorial é todo número real positivo exceto t = 1. Em notação matemática:
t > 0 e t neq 1

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