Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
f(x)=2/(6x^2+5x+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a regra da cadeia. Esse exercício faz parte do cálculo de derivadas, especificamente aplicando a regra da cadeia para funções compostas. Para isso, vamos precisar conhecer como aplicar a derivada de uma função composta e utilizar as regras de derivação de potências e funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a aplicação da regra da cadeia. Podemos expressar como:
Assim, identificamos que temos uma função externa e uma função interna .

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é:
Aplicando isso à nossa função, temos que derivar a função externa em relação a e multiplicar pela derivada da função interna em relação a .

Passo 4

Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a :
Isso nos dá a derivada da parte externa.

Passo 5

Agora, derivamos a função interna em relação a :
Essa é a derivada da parte interna.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, multiplicamos as duas derivadas que encontramos:
Substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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