Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva da função
no ponto onde
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
, que nos dá a coordenada
do ponto onde a reta tangente vai tocar a curva.
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
A derivada de
é:
Passo 4
Vamos simplificar a derivada para facilitar os cálculos:
Passo 5
Agora, vamos calcular
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma
:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é: