Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto dado:
f(x)=-1/3 * x^3 + raiz(8 * x) ; x=2

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo onde precisamos encontrar a equação da reta tangente à curva da função no ponto onde . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de , que nos dá a coordenada do ponto onde a reta tangente vai tocar a curva.
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que representa a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
A derivada de é:

Passo 4

Vamos simplificar a derivada para facilitar os cálculos:

Passo 5

Agora, vamos calcular para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 7

Vamos simplificar a equação para deixá-la na forma :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto é:

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