Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
H(x)=\left(x+x^{-1}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada de H(x)=\left(x+x^{-1}\right)^{3} usando a regra da cadeia.
Informações dadas:
  • A função é H(x)=\bigl(x+x^{-1}\bigr)^{3}.
  • Deve-se calcular H'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Introdução breve à regra da cadeia (com linguagem simples): quando uma função é composta, isto é, tem a forma H(x)=g(u(x)), a derivada é dada por multiplicar a derivada da função externa avaliada na interna pela derivada da função interna. Em fórmulas:
\text{Se }H(x)=g(u(x))\text{ então }H'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).ã
Aqui cada símbolo significa:
  • u(x) é a função interna (depende de x);
  • g(u) é a função externa (depende de u);
  • g'(u) é a derivada de g em relação a u;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.

Passo 3

Identificar interna e externa na nossa função:
  • Função interna: u(x)=x+x^{-1}.
  • Função externa: g(u)=u^{3}.
    Portanto H(x)=g(u(x)).

Passo 4

Derivar a função externa g(u)=u^{3} em relação a u. Usando a regra da potência (derivada de u^{n} é n u^{n-1}):
g'(u)=3u^{2}.
Isto significa: ao aplicar a cadeia, substituir u por u(x) depois.

Passo 5

Derivar a função interna u(x)=x+x^{-1} em relação a x. Derivadas termo a termo:
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de x^{-1} usa a regra da potência com expoente -1: \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
    Portanto
u'(x)=1 - x^{-2}.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados dos passos anteriores:
H'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x)=3\bigl(u(x)\bigr)^{2}\cdot\bigl(1-x^{-2}\bigr).
Substituindo u(x)=x+x^{-1}:
H'(x)=3\bigl(x+x^{-1}\bigr)^{2}\bigl(1-x^{-2}\bigr).

Passo 7

Simplificar a expressão para uma forma racional mais direta (útil em prova). Primeiro escrevendo x+x^{-1} com denominador comum:
x+x^{-1}=\frac{x^{2}+1}{x}.
Ao quadrado:
\bigl(x+x^{-1}\bigr)^{2}=\frac{(x^{2}+1)^{2}}{x^{2}}.
E
1-x^{-2}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}.
Multiplicando tudo:
H'(x)=3\cdot\frac{(x^{2}+1)^{2}}{x^{2}}\cdot\frac{x^{2}-1}{x^{2}} =3\frac{(x^{2}+1)^{2}\,(x^{2}-1)}{x^{4}}.

Passo 8

Resumo final e observação: tanto a forma fatorada
H'(x)=3\bigl(x+x^{-1}\bigr)^{2}\bigl(1-x^{-2}\bigr)
quanto a forma racional
H'(x)=3\frac{(x^{2}+1)^{2}\,(x^{2}-1)}{x^{4}}
são corretas. A segunda é frequentemente mais conveniente para avaliar em provas ou simplificar sinais e zeros.

Resposta

H'(x)=3\bigl(x+x^{-1}\bigr)^{2}\bigl(1-x^{-2}\bigr)=3\frac{(x^{2}+1)^{2}\,(x^{2}-1)}{x^{4}}

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