Determine a derivada de cada função utilizando a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada de
usando a regra da cadeia.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Deve-se calcular
, a derivada em relação a .
Passo 2
Introdução breve à regra da cadeia (com linguagem simples): quando uma função é composta, isto é, tem a forma
, a derivada é dada por multiplicar a derivada da função externa avaliada na interna pela derivada da função interna. Em fórmulas:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a função interna (depende de ); -
é a função externa (depende de ); -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
Passo 3
Identificar interna e externa na nossa função:
- Função interna:
. - Função externa:
.
Portanto.
Passo 4
Derivar a função externa
em relação a
. Usando a regra da potência (derivada de
é
):
Isto significa: ao aplicar a cadeia, substituir
por
depois.
Passo 5
Derivar a função interna
em relação a
. Derivadas termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
usa a regra da potência com expoente : .
Portanto
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia juntando os resultados dos passos anteriores:
Substituindo
:
Passo 7
Simplificar a expressão para uma forma racional mais direta (útil em prova). Primeiro escrevendo
com denominador comum:
Ao quadrado:
E
Multiplicando tudo:
Passo 8
Resumo final e observação: tanto a forma fatorada
quanto a forma racional
são corretas. A segunda é frequentemente mais conveniente para avaliar em provas ou simplificar sinais e zeros.