Fatore:
Passo 1
O que o problema pede: fatorar o polinômio
.
Informações dadas: um polinômio de grau 3 com termo em e termo constante
. Não há outros dados escondidos.
Informações dadas: um polinômio de grau 3 com termo em
Passo 2
Ideia principal (fórmula útil que vamos usar): existe uma identidade algébrica chamada diferença de cubos:
Vamos demonstrar rapidamente por multiplicação para fixar bem a fórmula. Multiplicando o lado direito:
Todos os termos cruzados cancelam, sobrando exatamente
. Então a fórmula está correta. Dica prática: quando vir algo no formato
, aplique essa identidade.
Passo 3
Aplicando a identidade ao nosso caso: aqui
e
porque
. Substituindo,
Isso já é a fatoração completa sobre os reais em termos de fatores polinomiais com coeficientes reais.
Passo 4
Verificação alternativa (teorema do resto / divisão sintética) — útil para a prova, caso não lembre da identidade: pelo teorema do resto, se
então
é fator de
. Aqui
logo
é fator. Fazendo divisão sintética de
por
:
Coeficientes:
.
Trazer . Multiplicar por
dá
. Somar à segunda coluna:
. Multiplicar por
dá
. Somar à terceira coluna:
. Multiplicar por
dá
. Somar ao termo constante:
(resto).
Quociente obtido: , ou seja
. Assim novamente
Trazer
Quociente obtido:
Passo 5
Sobre a fatoração final: o quadrático
não tem raízes reais porque o discriminante é negativo:
Portanto, sobre os reais a fatoração já é irreduzível em fatores lineares. Se quiser (opcional), em números complexos as raízes do quadrático são
e aí pode escrever o produto em três fatores lineares sobre
.