Fatore: x^{3}-27

Passo 1

O que o problema pede: fatorar o polinômio x^{3}-27.
Informações dadas: um polinômio de grau 3 com termo em x^{3} e termo constante -27. Não há outros dados escondidos.

Passo 2

Ideia principal (fórmula útil que vamos usar): existe uma identidade algébrica chamada diferença de cubos:
a^{3}-b^{3}=(a-b)\,(a^{2}+ab+b^{2}).
Vamos demonstrar rapidamente por multiplicação para fixar bem a fórmula. Multiplicando o lado direito:
(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3}.
Todos os termos cruzados cancelam, sobrando exatamente a^{3}-b^{3}. Então a fórmula está correta. Dica prática: quando vir algo no formato \text{(cubo)} - \text{(cubo)}, aplique essa identidade.

Passo 3

Aplicando a identidade ao nosso caso: aqui a=x e b=3 porque 27=3^{3}. Substituindo,
x^{3}-27 = x^{3}-3^{3}=(x-3)\,(x^{2}+3x+9).
Isso já é a fatoração completa sobre os reais em termos de fatores polinomiais com coeficientes reais.

Passo 4

Verificação alternativa (teorema do resto / divisão sintética) — útil para a prova, caso não lembre da identidade: pelo teorema do resto, se f(3)=0 então (x-3) é fator de f(x). Aqui
f(3)=3^{3}-27=27-27=0,
logo (x-3) é fator. Fazendo divisão sintética de x^{3}+0x^{2}+0x-27 por x-3:
Coeficientes: 1,\;0,\;0,\;-27.
Trazer 1. Multiplicar por 3 3. Somar à segunda coluna: 0+3=3. Multiplicar por 3 9. Somar à terceira coluna: 0+9=9. Multiplicar por 3 27. Somar ao termo constante: -27+27=0 (resto).
Quociente obtido: 1,\;3,\;9, ou seja x^{2}+3x+9. Assim novamente
x^{3}-27=(x-3)(x^{2}+3x+9).

Passo 5

Sobre a fatoração final: o quadrático x^{2}+3x+9 não tem raízes reais porque o discriminante é negativo:
\Delta = 3^{2}-4\cdot1\cdot9=9-36=-27<0.
Portanto, sobre os reais a fatoração já é irreduzível em fatores lineares. Se quiser (opcional), em números complexos as raízes do quadrático são
x=-\tfrac{3}{2}\pm \tfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i,
e aí pode escrever o produto em três fatores lineares sobre \mathbb{C}.

Resposta

(x-3)(x^{2}+3x+9)

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