Determine a derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=x^{n} \cdot \ln x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
\displaystyle f(x)=x^{n}\,\ln x
para x>0. O conteúdo principal aqui é a regra do produto, que diz que
(u\cdot v)' = u'\,v + u\,v',
e a derivada de \ln x, que é \tfrac{1}{x}.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^{n}, \quad v(x)=\ln x.
Então
u'(x)=n\,x^{n-1}, \quad v'(x)=\frac{1}{x}.
Pela regra do produto,
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = \bigl(n\,x^{n-1}\bigr)\,\ln x + x^{n}\,\frac{1}{x}.
Simplificando o segundo termo, x^{n}\frac1x = x^{n-1}, obtém-se
f'(x) = n\,x^{n-1}\ln x + x^{n-1}.

Resposta

\boxed{f'(x)=x^{\,n-1}\,\bigl(n\ln x + 1\bigr).}

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