Determine a derivada direcional da função dada no ponto P_{0} e na direção de v
f(x, y, z)=\operatorname{arcsec}(x y z) ; P_{0}=(1,1,2) ; v=(0,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=\operatorname{arcsec}(xyz)
no ponto P_{0}=(1,1,2) e na direção de v=(0,1,1). O conteúdo principal é usar a definição
D_{\mathbf{u}}f(P_{0}) = \nabla f(P_{0}) \cdot \mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Para achar \nabla f, faço a cadeia: defino
u = xyz,
logo
f(x,y,z)=\operatorname{arcsec}(u).
Como
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arcsec}(u)\bigr) =\frac{1}{\lvert u\rvert\sqrt{u^{2}-1}},
temos
\nabla f =\frac{1}{\lvert u\rvert\sqrt{u^{2}-1}}\;\nabla u \quad\text{e}\quad \nabla u=(yz,\;xz,\;xy).

Passo 3

Avalio em P_{0}:
u_{0}=1\cdot1\cdot2=2,
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arcsec}(u)\bigr)\Big|_{u=2} =\frac{1}{2\sqrt{2^{2}-1}} =\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Logo
\nabla f(P_{0}) =\frac{1}{2\sqrt{3}}\,(yz,xz,xy)\Big|_{(1,1,2)} =\frac{1}{2\sqrt{3}}\,(2,2,1) =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\Bigr).

Passo 4

Calculo o vetor unitário \mathbf{u} na direção de v:
\|v\|=\sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2},
\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\,(0,1,1).

Passo 5

Faço o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(P_{0}) =\nabla f(P_{0})\cdot\mathbf{u} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\Bigr) \cdot\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,1) =\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigl(0+\tfrac{1}{\sqrt{3}}+\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\Bigr) =\frac{3}{2\sqrt{6}} =\frac{\sqrt{6}}{4}.

Resposta

A derivada direcional de f em P_{0} na direção de v é \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}.

Exercícios relacionados