Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto P_{0} e a direção em que ocorre
f(x, y)=2^{2 y} \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{3 x}\right) ; \quad P_{0}=(1,3)

Passo 1

O enunciado pede o valor máximo da derivada direcional de
f(x,y)=2^{2y}\,\arctan\!\Bigl(\frac{y}{3x}\Bigr)
no ponto P_{0}=(1,3) e a direção em que esse valor ocorre.
Para isso vamos usar o fato de que a derivada direcional máxima de f em P_{0} é igual ao módulo do gradiente \nabla f(P_{0}), e que a direção de máxima variação é a direção de \nabla f(P_{0}).

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y por regra do produto e regra da cadeia. Seja
A(y)=2^{2y}, \qquad B(x,y)=\arctan\!\Bigl(\tfrac{y}{3x}\Bigr),
então f(x,y)=A(y)\,B(x,y).
  1. Cálculo de \partial_x B:
    Defina u(x,y)=\tfrac{y}{3x}.
    Então
\partial_x B =\frac{1}{1+u^2}\,\partial_x u =\frac{1}{1+\bigl(\frac{y}{3x}\bigr)^2} \,\Bigl(-\frac{y}{3x^2}\Bigr).
  1. Cálculo de \partial_y B:
\partial_y B =\frac{1}{1+u^2}\,\partial_y u =\frac{1}{1+\bigl(\frac{y}{3x}\bigr)^2} \,\frac{1}{3x}.
  1. Cálculo de A'(y):
    Usando A(y)=2^{2y}=e^{2y\ln 2},
A'(y)=2^{2y}\cdot2\ln 2.
  1. Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x} =A(y)\,\partial_x B, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =A'(y)\,B(x,y)+A(y)\,\partial_y B.

Passo 3

Agora avaliamos em P_{0}=(1,3).
  1. A(3)=2^{6}=64.
  2. u(1,3)=\tfrac{3}{3\cdot1}=1, logo 1+u^2=2 e
B(1,3)=\arctan(1)=\frac{\pi}{4}.
  1. \partial_x B\bigl|_{P_{0}} =\frac{1}{2}\Bigl(-\frac{3}{3\cdot1^2}\Bigr) =-\frac{1}{2}. 4. \partial_y B\bigl|_{P_{0}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3\cdot1} =\frac{1}{6}. 5. A'(3)=64\cdot2\ln2=128\ln2. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}\Bigl|_{P_{0}} =64\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr) =-32,
\frac{\partial f}{\partial y}\Bigl|_{P_{0}} =128\ln2\;\frac{\pi}{4} +64\;\frac{1}{6} =32\pi\ln2+\frac{64}{6} =32\pi\ln2+\frac{32}{3}.

Passo 4

O gradiente em P_{0} é
\nabla f(P_{0}) =\bigl(-32,\;32\pi\ln2+\tfrac{32}{3}\bigr).
O valor máximo da derivada direcional é o módulo deste vetor:
\|\nabla f(P_{0})\| =\sqrt{(-32)^2+\Bigl(32\pi\ln2+\tfrac{32}{3}\Bigr)^{2}} =32\, \sqrt{1+\Bigl(\pi\ln2+\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2}}.

Passo 5

A direção de máxima variação é a do próprio gradiente, i.e., o vetor
\bigl(-32,\;32\pi\ln2+\tfrac{32}{3}\bigr)
normalizado. Podemos simplificar nessa direção para
\bigl(-1,\;\pi\ln2+\tfrac{1}{3}\bigr),
e ao normalizar, dividimos por \sqrt{1+(\pi\ln2+1/3)^2}.

Resposta

O valor máximo da derivada direcional é
32\,\sqrt{1+\Bigl(\pi\ln2+\tfrac{1}{3}\Bigr)^{2}}
e ocorre na direção do vetor
\bigl(-1,\;\pi\ln2+\tfrac{1}{3}\bigr)
(normalizado).

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