Determine o valor máximo da derivada direcional de f no ponto P_{0} e a direção em que ocorre f(x, y)=2^{2 y} \operatorname{arctg}\left(\frac{y}{3 x}\right) ; \quad P_{0}=(1,3)
Passo 1
O enunciado pede o valor máximo da derivada direcional de
f(x,y)=2^{2y}\,\arctan\!\Bigl(\frac{y}{3x}\Bigr)
no ponto P_{0}=(1,3) e a direção em que esse valor ocorre.
Para isso vamos usar o fato de que a derivada direcional máxima de f em P_{0} é igual ao módulo do gradiente \nabla f(P_{0}), e que a direção de máxima variação é a direção de \nabla f(P_{0}).
Passo 2
Vamos achar as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y por regra do produto e regra da cadeia. Seja