Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado, na direção do vetor v :
f(x, y)=y^2+x^2 raizy, P=(1,4), v=(2,-3).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=y^2+x^2raizy
no ponto P=(1,4) na direção do vetor v=(2,-3).
Para isso vamos usar a definição
Dvf(P)=nabla f(P)cdotu,
onde nabla f é o gradiente de f e u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Para obter o gradiente de f, calculamos as derivadas parciais em função de (x,y):
partial fpartial x(x,y)=2xraizy
partial fpartial y(x,y)=2y+x^22raizy

Passo 3

Agora avaliamos essas parciais em P=(1,4). Como raiz4=2, temos
partial fpartial x(1,4)=2cdot1cdot2=4
partial fpartial y(1,4)=2cdot4+1^22cdot2=8+14=334
Logo
nabla f(1,4)=(4,tfrac334).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário u=v/|v|. Primeiro a norma de v:
|v|=raiz2^2+(-3)^2=raiz4+9=raiz13
Então
u=v|v| =l(tfrac2raiz13,-tfrac3raiz13r)

Passo 5

Por definição
Dvf(1,4)=nabla f(1,4)cdotu.
Assim,
Dvf(1,4) =4cdot2raiz13+334cdotl(-3raiz13r) =8-tfrac994raiz13 =-674raiz13

Resposta

- 674raiz13

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