Determine a derivada direcional da função f no ponto P dado, na direção do vetor v :
f(x, y)=x+2 y+x y, P=(-2,0), v=(1,-1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x+2y+xy no ponto P=(-2,0) na direção do vetor v=(1,-1). Para isso, vamos usar o conceito de gradiente:
Duf(P)=nabla f(P)cdotu, onde u é o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=1+y
partial fpartial y=2+x

Passo 3

Avaliar o gradiente em P=(-2,0):
nabla f(x,y)=(1+y,;2+x)
Logo,
nabla f(P)=l(1+0,;2+(-2)r)=(1,0).

Passo 4

Normalizar v=(1,-1) para obter u:
|v|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2
u=v|v| =1raiz2,(1,-1)

Passo 5

Calcular a derivada direcional:
Duf(P) =nabla f(P)cdotu =(1,0)cdot1raiz2(1,-1) =1raiz2

Resposta

Dvf(P) =1raiz2

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