Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor unitário u :
f(x, y, z)=x e^y+y e^z+z e^x, P=(0,0,0), u=(1raiz6, 1raiz6, 2raiz6).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z)=x e^y+y e^z+z e^x
no ponto P=(0,0,0) na direção do vetor unitário
vec u=l(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,tfrac2raiz6r).
Conteúdo: derivada direcional via gradiente e produto escalar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=e^y+z,e^x
partial fpartial y=x,e^y+e^z
partial fpartial z=y,e^z+e^x

Passo 3

Avaliar as derivadas parciais em P=(0,0,0). Como e^0=1 e x=y=z=0:
partial fpartial x(0,0,0)=1+0cdot1=1, partial fpartial y(0,0,0)=0cdot1+1=1, partial fpartial z(0,0,0)=0cdot1+1=1

Passo 4

O gradiente de f em P é
nabla f(0,0,0)=(1,,1,,1)

Passo 5

A derivada direcional de f em P na direção vec u é o produto escalar
Dvec uf(0,0,0)=nabla f(0,0,0)cdotvec u =(1,1,1)cdotl(tfrac1raiz6,tfrac1raiz6,tfrac2raiz6r) =1+1+2raiz6 =4raiz6 =2raiz63

Resposta

Dvec uf(0,0,0)=4raiz6=2raiz63

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