Considere a função g(x, y)=x y e^x^2-4 y^2.
Determine a linearização e a aproximação linear de g no ponto (2,-1).
Use a aproximação linear encontrada para determinar uma aproximação para g(2,001 ;-0,999).

Passo 1

O enunciado pede a linearização de g(x,y)=x,y,e^x^2-4y^2 no ponto (2,-1) e, em seguida, usar essa aproximação linear para estimar g(2,001,-0,999). O conteúdo principal é o desenvolvimento da aproximação linear via derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de g. Aplicando produto e regra da cadeia, temos
gx(x,y) =partialpartial xl(x,y,e^x^2-4y^2r) =y,e^x^2-4y^2 +x,y,e^x^2-4y^2cdot 2x =y,e^x^2-4y^2l(1+2x^2r),
gy(x,y) =partialpartial yl(x,y,e^x^2-4y^2r) =x,e^x^2-4y^2 +x,y,e^x^2-4y^2cdot(-8y) =x,e^x^2-4y^2l(1-8y^2r)

Passo 3

Agora avaliamos g, gx e gy em (2,-1). Note que x^2-4y^2=4-4=0 e e^0=1.
g(2,-1)=2cdot(-1)cdot1=-2,
gx(2,-1) =-1cdotl(1+2cdot2^2r) =-1cdot9=-9,
gy(2,-1) =2cdotl(1-8cdot(-1)^2r) =2cdot(1-8)=2cdot(-7)=-14

Passo 4

A linearização de g em (2,-1) é
L(x,y) =g(2,-1) +gx(2,-1),(x-2) +gy(2,-1),(y+1),
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L(x,y) =-2 -9,(x-2) -14,(y+1)

Passo 5

Para aproximar g(2,001,-0,999), note que De<a x=0,001 e De<a y=0,001. Então
L(2,001,-0,999) =-2 -9cdot0,001 -14cdot0,001 =-2-0,009-0,014 =-2,023

Resposta

A linearização é
L(x,y)=-2-9,(x-2)-14,(y+1),
e a aproximação para g(2,001,-0,999) é -2,023.

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