Determine a derivada direcional da função no ponto P dado na direção do vetor \vec{v}.
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right), P=(2,1), \vec{v}=\langle-1,2\rangle.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=\ln\bigl(x^2+y^2\bigr)
no ponto P=(2,1) na direção do vetor \vec{v}=\langle-1,2\rangle.
Para isso, vamos usar a fórmula
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf{u},
onde \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \vec{v}.

Passo 2

Calculamos primeiro o gradiente de f:
\nabla f(x,y) =\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right) =\left(\frac{2x}{x^2+y^2},\,\frac{2y}{x^2+y^2}\right).
Em P=(2,1) temos x^2+y^2=5, logo
\nabla f(2,1) =\Bigl(\tfrac{4}{5},\,\tfrac{2}{5}\Bigr).

Passo 3

Agora normalizamos \vec{v}=\langle-1,2\rangle. Primeiro o módulo:
\|\vec{v}\|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}.
O vetor unitário na direção de \vec{v} é
\mathbf{u} =\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} =\Bigl\langle -\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr\rangle.

Passo 4

Finalmente, a derivada direcional em P é
D_{\mathbf{u}}f(2,1) =\nabla f(2,1)\cdot\mathbf{u} =\frac{4}{5}\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}}\Bigr) +\frac{2}{5}\Bigl(\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr) =0.

Resposta

0

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