Determine:
\frac{d R}{d x}, \frac{d R}{d y}, quando x=y=1, onde R=\ln \left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right), u=x+2 y, v=2 x-y=-w.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
R = \ln\bigl(u^2+v^2+w^2\bigr)
onde
u = x + 2y,\quad v = 2x - y,\quad w = -v.
O conteúdo necessário é a regra da cadeia para derivadas parciais de função composta envolvendo logaritmo e soma de quadrados.

Passo 2

Usando a regra da cadeia, para qualquer variável t\in\{x,y\} temos
\frac{\partial R}{\partial t} = \frac{1}{u^2+v^2+w^2} \frac{\partial}{\partial t}\bigl(u^2+v^2+w^2\bigr) = \frac{1}{u^2+v^2+w^2}\bigl(2u\,u_t + 2v\,v_t + 2w\,w_t\bigr),
onde escrevemos u_t=\partial u/\partial t, v_t=\partial v/\partial t e w_t=\partial w/\partial t.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de u,v,w:
u_x = 1,\quad u_y = 2,
v_x = 2,\quad v_y = -1,
w = -v\;\Longrightarrow\;w_x=-v_x=-2,\quad w_y=-v_y=1.

Passo 4

Avaliar em (x,y)=(1,1):
u(1,1)=1+2\cdot1=3,\quad v(1,1)=2\cdot1-1=1,\quad w(1,1)=-1,
u_x=1,\;v_x=2,\;w_x=-2,\quad u_y=2,\;v_y=-1,\;w_y=1,
S = u^2+v^2+w^2 = 3^2+1^2+(-1)^2 = 9+1+1 = 11.

Passo 5

Substituindo em cada fórmula:
\frac{\partial R}{\partial x}\Big|_{(1,1)} = \frac{1}{11}\bigl(2\cdot3\cdot1 + 2\cdot1\cdot2 + 2\cdot(-1)\cdot(-2)\bigr) = \frac{1}{11}(6+4+4) = \frac{14}{11},
\frac{\partial R}{\partial y}\Big|_{(1,1)} = \frac{1}{11}\bigl(2\cdot3\cdot2 + 2\cdot1\cdot(-1) + 2\cdot(-1)\cdot1\bigr) = \frac{1}{11}(12-2-2) = \frac{8}{11}.

Resposta

\frac{dR}{dx}\Big|_{(1,1)} = \frac{14}{11}, \qquad \frac{dR}{dy}\Big|_{(1,1)} = \frac{8}{11}.

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