Determine a derivada direcional máxima de f em P e encontre a direção e sentido em que ela ocorre.
(b) f(x, y)=ln (1+sin ^2(x^2 y^3)), P=(0,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional máxima de
f(x,y)=lnl(1+sin^2(x^2y^3)r)
no ponto P=(0,1), bem como a direção e o sentido em que ela ocorre.
Para isso vamos usar o fato de que a derivada direcional máxima em P vale |nabla f(P)| e ocorre na direção do vetor gradiente nabla f(P).

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais via regra da cadeia. Defina
u(x,y)=x^2y^3, g(u)=sin^2(u), h(v)=ln(1+v),
de modo que f(x,y)=hl(g(u(x,y))r). Então
fx =11+sin^2(u)cdot 2sin(u)cos(u)cdotpartialpartial x(x^2y^3) =sin(2u)1+sin^2(u)cdot 2x,y^3,
fy =11+sin^2(u)cdot 2sin(u)cos(u)cdotpartialpartial y(x^2y^3) =sin(2u)1+sin^2(u)cdot 3x^2,y^2

Passo 3

Agora avalie em P=(0,1). Temos
u(0,1)=0^2cdot1^3=0, sin(0)=0, sin^2(0)=0, sin(2cdot0)=0
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fx(0,1) =01+0cdot2cdot0cdot1^3=0, fy(0,1) =01+0cdot3cdot0^2cdot1^2=0,
e portanto
nabla f(0,1)=(0,0)

Passo 4

Como o gradiente em P é o vetor nulo, sua norma é
|nabla f(0,1)|=0
Isto significa que a derivada direcional em qualquer direção unitária vale zero. Assim, a derivada direcional máxima é zero, ocorrendo em qualquer direção (já que nabla f(0,1)=0 não fornece uma direção preferencial).

Resposta

A derivada direcional máxima em P é 0, e ela ocorre em qualquer direção (já que o gradiente ali é nulo).

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