Determine a derivada direcional máxima de
em
e encontre a direção e sentido em que ela ocorre.
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional máxima de
no ponto
, bem como a direção e o sentido em que ela ocorre.
Para isso vamos usar o fato de que a derivada direcional máxima em vale
e ocorre na direção do vetor gradiente
.
Para isso vamos usar o fato de que a derivada direcional máxima em
Passo 2
Calculemos primeiro as derivadas parciais via regra da cadeia. Defina
de modo que
. Então
Passo 3
Agora avalie em
. Temos
Logo
e portanto
Passo 4
Como o gradiente em
é o vetor nulo, sua norma é
Isto significa que a derivada direcional em qualquer direção unitária vale zero. Assim, a derivada direcional máxima é zero, ocorrendo em qualquer direção (já que
não fornece uma direção preferencial).
Resposta
A derivada direcional máxima em
é
, e ela ocorre em qualquer direção (já que o gradiente ali é nulo).