Determine a derivada direcional máxima de f em P e encontre a direção e sentido em que ela ocorre.
(a) f(x, y)=x y e^x^2 y^2, P=(2,3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional máxima de f(x,y)=x,y,e^x^2y^2 no ponto P=(2,3). Sabemos que essa derivada máxima é o módulo do gradiente de f em P e que ocorre na direção do próprio gradiente.

Passo 2

Vamos obter o gradiente
nabla f=(partial f/partial x,;partial f/partial y)
aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, já que f(x,y)=x ycdot e^(x y)^2.

Passo 3

Cálculo de partial f/partial x:
ao derivar x y em relação a x vem y, e ao derivar e^(x y)^2 vem
e^(x y)^2cdot 2,x,ycdot y =2,x,y^2,e^(x y)^2
Pelo produto,
partial fpartial x = y,e^(x y)^2 + x,ycdot 2,x,y^2,e^(x y)^2 = y,e^(x y)^2l(1 + 2,x^2y^2r)
De modo análogo,
partial fpartial y = x,e^(x y)^2l(1 + 2,x^2y^2r)

Passo 4

Em P=(2,3) temos x y=6 e
1 + 2,x^2y^2 = 1 + 2cdot 4cdot 9 = 73
Logo,
partial fpartial x(2,3) =3,e^36cdot 73 = 219,e^36, partial fpartial y(2,3) =2,e^36cdot 73 = 146,e^36
Portanto
nabla f(2,3) = l(219,e^36,,146,e^36r) =73,e^36,(3,2)

Passo 5

A derivada direcional máxima em P é o módulo de nabla f(2,3):
Dmaxf(P) =|nabla f(2,3)| =73,e^36,raiz3^2+2^2 =73raiz13,e^36
A direção em que isso ocorre é a do gradiente. O vetor unitário nessa direção é
u =nabla f(2,3)|nabla f(2,3)| =l(3raiz13,,2raiz13r)

Resposta

A derivada direcional máxima de f em P é
73raiz13,e^36
e ela ocorre no sentido do vetor unitário
l(tfrac3raiz13,,tfrac2raiz13r)

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