Determine a derivada direcional máxima de
em
e encontre a direção e sentido em que ela ocorre.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional máxima de
no ponto
. Sabemos que essa derivada máxima é o módulo do gradiente de
em
e que ocorre na direção do próprio gradiente.
Passo 2
Vamos obter o gradiente
aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, já que .
aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, já que
Passo 3
Cálculo de
:
ao derivar em relação a
vem
, e ao derivar
vem
ao derivar
Pelo produto,
De modo análogo,
Passo 4
Em
temos
e
Logo,
Portanto
Passo 5
A derivada direcional máxima em
é o módulo de
:
A direção em que isso ocorre é a do gradiente. O vetor unitário nessa direção é
Resposta
A derivada direcional máxima de
em
é
e ela ocorre no sentido do vetor unitário