Determine a derivada das funções abaixo, utilize as regras de derivação:
f(x)=(3 x+1) \cdot\left(x^{2}-3\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. A função fornecida é:
f(x)=(3x+1)\cdot\left(x^{2}-3\right).
Ou seja, a única pergunta é: qual é f'(x)? As informações relevantes são os dois fatores da multiplicação: 3x+1 e x^{2}-3.

Passo 2

Aqui é necessário usar a regra do produto para derivar uma função que é produto de duas outras. Vou explicar a regra com calma e dar as fórmulas básicas que usarei.
Regra do produto (explicação): se temos duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto u(x)\,v(x) é dada por
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Isto significa: derivar a primeira mantendo a segunda + manter a primeira e derivar a segunda.
Regras simples que também usarei:
  • Derivada de uma função linear a x + b é a constante a: \frac{d}{dx}\bigl(a x + b\bigr)=a.
  • Regra da potência para x^{n} (com n inteiro): \frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Vou aplicar essas regras ao nosso caso.

Passo 3

Identifico os dois fatores como funções:
u(x)=3x+1,\qquad v(x)=x^{2}-3.
Agora calculo as derivadas de cada uma usando as regras acima:
Derivada de u:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x+1\bigr)=3.
Derivada de v:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}-3\bigr)=2x.

Passo 4

Aplico a regra do produto:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=3\cdot\bigl(x^{2}-3\bigr)+(3x+1)\cdot(2x).
Agora faço as contas passo a passo para simplificar.
Primeiro termo:
3\cdot\bigl(x^{2}-3\bigr)=3x^{2}-9.
Segundo termo (distributiva):
(3x+1)\cdot(2x)=3x\cdot2x+1\cdot2x=6x^{2}+2x.
Somando os dois:
f'(x)=(3x^{2}-9)+(6x^{2}+2x)=3x^{2}+6x^{2}+2x-9=9x^{2}+2x-9.
Verificação alternativa (cheque rápido): expandir f primeiro e depois derivar.
f(x)=(3x+1)(x^{2}-3)=3x^{3}+x^{2}-9x-3,
\frac{d}{dx}f(x)=9x^{2}+2x-9,
resultado consistente com o anterior.

Passo 5

Resumo prático para a prova: ao ver um produto como (3x+1)(x^{2}-3), aplique direto a regra do produto, lembrando que a derivada de 3x+1 é 3 e a de x^{2}-3 é 2x; depois simplifique os termos. Fica mais rápido e seguro do que tentar manipular de cabeça sem passo a passo — e você já conferiu com a expansão.

Resposta

f'(x)=9x^{2}+2x-9

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