Determine a derivada das funções abaixo, utilize as regras de derivação:
y=\frac{3 x^{2}+3}{5 x-3}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é y=\dfrac{3x^{2}+3}{5x-3}.
  • Queremos calcular y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Antes de calcular, vamos rever as regras de derivação que vamos usar — de forma bem direta e prática:
  • Regra da soma e da constante: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem na frente:
\frac{d}{dx}\big(a\cdot f(x)+g(x)\big)=a\cdot f'(x)+g'(x),
onde a é constante.
  • Regra do poder (power rule): se f(x)=x^{n} com n constante, então
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Regra do quociente (quotient rule): se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u'(x) é a derivada do numerador e v'(x) é a derivada do denominador. Essa regra vem de combinar a regra do produto com a regra da cadeia e da inversa, mas na prova é suficiente decorar a fórmula e saber aplicá-la com cuidado.
Vou usar essas regras: primeiro derivar numerador e denominador separados, depois aplicar a regra do quociente.

Passo 3

Identifico u(x) e v(x):
u(x)=3x^{2}+3,\qquad v(x)=5x-3.
Calculo u'(x) usando a regra do poder e linearidade:
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(3x^{2}+3\big)=3\cdot\frac{d}{dx}x^{2}+\frac{d}{dx}3=3\cdot(2x)+0=6x.
Calculo v'(x) (derivada de uma função linear):
v'(x)=\frac{d}{dx}(5x-3)=5.

Passo 4

Aplico a regra do quociente com u,u',v,v':
y'=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{(6x)(5x-3)-(3x^{2}+3)(5)}{(5x-3)^{2}}.

Passo 5

Agora simplifico o numerador passo a passo:
Primeiro expando os produtos:
(6x)(5x-3)=30x^{2}-18x,
(3x^{2}+3)(5)=15x^{2}+15.
Subtraindo:
30x^{2}-18x-(15x^{2}+15)=30x^{2}-18x-15x^{2}-15=15x^{2}-18x-15.

Passo 6

Posso fatorar um 3 no numerador para deixar mais elegante:
15x^{2}-18x-15=3(5x^{2}-6x-5).
Portanto a derivada simplificada é
y'=\frac{15x^{2}-18x-15}{(5x-3)^{2}}=\frac{3(5x^{2}-6x-5)}{(5x-3)^{2}}.
Não há cancelamento possível com o denominador (5x-3)^{2}, então essa é a forma final simplificada.

Resposta

y'=\frac{15x^{2}-18x-15}{(5x-3)^{2}}=\frac{3(5x^{2}-6x-5)}{(5x-3)^{2}}

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