Determine a derivada das funções abaixo, utilize as regras de derivação:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
- Queremos calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Antes de calcular, vamos rever as regras de derivação que vamos usar — de forma bem direta e prática:
- Regra da soma e da constante: a derivada da soma é a soma das derivadas e constantes saem na frente:
onde
é constante.
- Regra do poder (power rule): se
com constante, então
Exemplo rápido:
.
- Regra do quociente (quotient rule): se
com , então
Aqui
é a derivada do numerador e
é a derivada do denominador. Essa regra vem de combinar a regra do produto com a regra da cadeia e da inversa, mas na prova é suficiente decorar a fórmula e saber aplicá-la com cuidado.
Vou usar essas regras: primeiro derivar numerador e denominador separados, depois aplicar a regra do quociente.
Passo 3
Identifico
e
:
Calculo
usando a regra do poder e linearidade:
Calculo
(derivada de uma função linear):
Passo 4
Aplico a regra do quociente com
:
Passo 5
Agora simplifico o numerador passo a passo:
Primeiro expando os produtos:
Primeiro expando os produtos:
Subtraindo:
Passo 6
Posso fatorar um
no numerador para deixar mais elegante:
Portanto a derivada simplificada é
Não há cancelamento possível com o denominador
, então essa é a forma final simplificada.