Determine a derivada das funções a seguir:
f(x)=\frac{1}{\operatorname{sec} x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{1}{\operatorname{sec} x}.
O conteúdo aqui é derivação de função recíproca e derivada de \operatorname{sec} x.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia de forma direta, escrevemos
f(x) = (\operatorname{sec} x)^{-1}.

Passo 3

Sabemos que, se u(x)=\operatorname{sec} x, então
u'(x) = (\operatorname{sec} x)' = \operatorname{sec} x \,\tan x.

Passo 4

Usando a regra da derivada de u^{-1}, ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(u^{-1}\bigr) = -\,u^{-2}\,u',
temos
f'(x) = -(\operatorname{sec} x)^{-2}\cdot(\operatorname{sec} x\,\tan x) = -\frac{\operatorname{sec} x\,\tan x}{\operatorname{sec}^2 x}.

Passo 5

Basta simplificar
-\frac{\operatorname{sec} x\,\tan x}{\operatorname{sec}^2 x} = -\frac{\tan x}{\operatorname{sec} x} = -\tan x\cdot\cos x = -\sin x.

Resposta

f'(x) = -\sin x.

Exercícios relacionados