Determine a derivada das funções a seguir:
y=\left(x^{2}-1\right)^{3 x-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \bigl(x^{2} - 1\bigr)^{3x - 1}.
O conteúdo é a diferenciação de uma função da forma u(x)^{v(x)}, que resolvemos com diferenciação logarítmica.

Passo 2

Definimos
u(x) = x^{2}-1, \quad v(x) = 3x-1,
e aplicamos logaritmo em ambos os lados:
\ln y = (3x-1)\,\ln\bigl(x^{2}-1\bigr).

Passo 3

Derivamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo vem
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx},
e do lado direito usamos a regra do produto em v(x)\ln u(x):
\frac{d}{dx}\bigl[(3x-1)\ln(x^{2}-1)\bigr] = 3\,\ln(x^{2}-1) + (3x-1)\,\frac{2x}{x^{2}-1}.
Logo
\frac{y'}{y} =3\,\ln(x^{2}-1) + (3x-1)\,\frac{2x}{x^{2}-1}.

Passo 4

Isolando y' e voltando à forma original de y, obtemos
y' = y \,\Bigl[3\,\ln(x^{2}-1) + (3x-1)\,\frac{2x}{x^{2}-1}\Bigr] = \bigl(x^{2}-1\bigr)^{3x-1}\!\! \Bigl[3\,\ln(x^{2}-1) + \frac{2x\,(3x-1)}{x^{2}-1}\Bigr].

Resposta

y' = \bigl(x^{2}-1\bigr)^{3x-1}\!\! \Bigl[3\,\ln(x^{2}-1) + \frac{2x\,(3x-1)}{x^{2}-1}\Bigr].

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