Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=\left(\frac{x+1}{x^{2}+1}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\left(\frac{x+1}{x^{2}+1}\right)^{4}.
O conteúdo necessário envolve a regra da cadeia (chain rule) e a regra do quociente (quotient rule).

Passo 2

Vamos separar em função externa e interna. Defina
v(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1},
de modo que
f(x)=\bigl(v(x)\bigr)^{4}.

Passo 3

Pela regra da cadeia, temos
f'(x) =4\bigl(v(x)\bigr)^{3}\;v'(x).

Passo 4

Agora calculamos v'(x) pela regra do quociente:
v'(x) =\frac{(x+1)'\,\bigl(x^{2}+1\bigr)- (x+1)\,(x^{2}+1)'}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}} =\frac{1\cdot(x^{2}+1)-(x+1)\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{2}+1-2x^{2}-2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{1-2x-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Substituindo v(x) e v'(x) em f'(x):
f'(x) =4\biggl(\frac{x+1}{x^{2}+1}\biggr)^{3} \cdot\frac{1-2x-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =4\,\frac{(x+1)^{3}}{(x^{2}+1)^{3}} \cdot\frac{1-2x-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} =4\,\frac{(x+1)^{3}\,(1-2x-x^{2})}{(x^{2}+1)^{5}}.

Resposta

f'(x) =4\,\frac{(x+1)^{3}\,(1-2x-x^{2})}{(x^{2}+1)^{5}}.

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