Determine a derivada das funçōes a seguir.
f(x)=8^{3 x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=8^{3x^{2}-1}.
Este é um caso de exponencial com base constante a=8 e expoente u(x)=3x^{2}-1. Para resolver, vamos usar a regra de derivada de a^{u(x)} juntamente com a regra da cadeia.

Passo 2

Para uma função genérica g(x)=a^{u(x)} temos
g'(x)=a^{u(x)}\,\ln(a)\,\cdot u'(x).
Aqui identificamos a=8 e u(x)=3x^{2}-1.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}-1\bigr)=6x.
Substituindo em g'(x), obtemos
f'(x)=8^{3x^{2}-1}\,\ln(8)\,\cdot 6x.

Passo 4

Como \ln(8)=\ln(2^{3})=3\ln(2), podemos simplificar:
f'(x)=6x\,\ln(8)\,8^{3x^{2}-1} =6x\cdot3\ln(2)\,8^{3x^{2}-1} =18x\ln(2)\,8^{3x^{2}-1}.

Resposta

f'(x)=18x\ln(2)\,8^{3x^{2}-1}.

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