Determine a derivada das funções a seguir:
u=\frac{t+3}{t-5}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
u(t)=\frac{t+3}{t-5}.
O conteúdo aqui é derivada de quociente, então vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Seja
f(t)=t+3 \quad\text{e}\quad g(t)=t-5.
A regra do quociente diz que
u'(t)=\frac{f'(t)\,g(t)-f(t)\,g'(t)}{\bigl(g(t)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f e g:
f'(t)=1, \quad g'(t)=1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do passo anterior:
u'(t) =\frac{1\cdot(t-5)-(t+3)\cdot1}{(t-5)^{2}} =\frac{t-5-(t+3)}{(t-5)^{2}}.

Passo 5

Simplificando o numerador:
t-5-(t+3)=t-5-t-3=-8.
Logo,
u'(t)=\frac{-8}{(t-5)^{2}}.

Resposta

u'(t)=-\frac{8}{(t-5)^{2}}.

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