Determine a derivada das funções a seguir:
y=\frac{e^{x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=\frac{e^{x}}{x}.
Isso é conteúdo de derivadas usando regra do quociente (ou, alternativamente, regra do produto). Vamos reescrever a função de forma a aplicar a regra do produto, que costuma ser mais direta quando aparece um fator x no denominador.

Passo 2

Reescrevemos
y=\frac{e^{x}}{x}
como produto:
y = e^{x}\cdot x^{-1}.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto, que diz
(y_1y_2)' = y_1'\,y_2 + y_1\,y_2'.
Aqui y_1=e^x e y_2=x^{-1}. Logo,
y'=(e^{x})'\cdot x^{-1} + e^{x}\cdot (x^{-1})'.
Sabemos que (e^{x})'=e^{x} e (x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}. Portanto,
y' = e^{x}\,x^{-1} + e^{x}\,(-x^{-2}) =\frac{e^{x}}{x} - \frac{e^{x}}{x^{2}}.

Passo 4

Para simplificar, colocamos no mesmo denominador x^{2}:
y'=\frac{e^{x}\,x}{x^{2}} - \frac{e^{x}}{x^{2}} =\frac{e^{x}\,(x-1)}{x^{2}}.

Resposta

y'=\frac{e^{x}\,(x-1)}{x^{2}}.

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