Determine a derivada das funções a seguir:
f(x)=\frac{\operatorname{tg} x-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\tan x - 1}{x}.
O conteúdo envolvido é derivação de quociente e a regra de derivação da tangente, que é
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Identificamos no quociente
u(x)=\tan x-1 \quad\text{e}\quad v(x)=x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(x)=\frac{d}{dx}(\tan x-1)=\operatorname{sec}^2 x,
v'(x)=\frac{d}{dx}(x)=1.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{\operatorname{sec}^2 x\cdot x - (\tan x -1)\cdot 1}{x^2}.

Passo 5

Simplificando o numerador:
f'(x)=\frac{x\,\operatorname{sec}^2 x - \tan x +1}{x^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{x\,\operatorname{sec}^2 x - \tan x +1}{x^2}.

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