Determine a derivada das seguintes funções: F(x)=integralx^3 e^-t^2 d t, Resposta: F^prime(x)=-e^-x^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função . Esse problema faz parte do estudo de Cálculo, especificamente do tópico de derivadas de funções definidas por integrais. Para resolver, vamos precisar aplicar a Regra de Leibniz, que nos ajuda a encontrar a derivada de integrais cujo limite de integração depende da variável em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a função representa. Ela é uma integral definida onde o limite inferior é e o limite superior é . Isso significa que estamos acumulando a área sob a curva da função desde até .

Passo 3

Para encontrar a derivada de ddx ( integrala(x)^b(x) f(t) , dt ) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , ou seja, , usamos a Regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis. A regra nos diz que:
Nesse caso, nossa função tem:
  • com
  • com (já que 3 é uma constante)

Passo 4

Aplicando a Regra de Leibniz na nossa função F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) :
F'(x) = e^-3^2 cdot 0 - e^-x^2 cdot 1
Substituindo os valores:

Passo 5

Simplificando a expressão:
F'(x) = 0 - e^-x^2 = -e^-x^2

Resposta

A derivada da função F'(x) = -e^-x^2 é:

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