Determine a derivada total \frac{\partial f}{\partial v} de z=e^{x}[\cos (x)+\operatorname{sen}(y)] \operatorname{com} x=\frac{t}{v}, y=\frac{v}{t^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
z = e^{x}\big(\cos(x)+\operatorname{sen}(y)\big)
com as relações
x = \frac{t}{v},\qquad y = \frac{v}{t^{2}}.
A pergunta é: determinar a derivada total (parcial, tratando t como constante)
\frac{\partial f}{\partial v}
ou seja, encontrar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial v} em função de t e v.
Informações importantes listadas:
\begin{aligned} &z(x,y)=e^{x}\big(\cos(x)+\operatorname{sen}(y)\big),\\\ &x(t,v)=\dfrac{t}{v},\\\ &y(t,v)=\dfrac{v}{t^{2}}. \end{aligned}

Passo 2

Qual é a ideia para encontrar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}? Quando z depende de x e y, que por sua vez dependem de t e v, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A fórmula (mantendo t constante) é
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v}.
Aqui \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} são as derivadas parciais de z em relação a x e y considerando x,y independentes; e \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v} são as derivadas de x e y em relação a v (com t fixo). Vou calcular cada termo separadamente e depois juntar tudo.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Começo de z=e^{x}\big(\cos(x)+\sin(y)\big) (uso \sin no LaTeX para \operatorname{sen}). Ao derivar em relação a x aplico a regra do produto: derivada de e^{x} vezes o segundo fator mais e^{x} vezes a derivada do segundo fator em relação a x. Note que \sin(y) é tratado como constante ao derivar em x (porque é função de y, não de x). Assim,
\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= e^{x}\big(\cos(x)+\sin(y)\big) + e^{x}\big(-\sin(x)\big)\\[4pt] &= e^{x}\big(\cos(x)+\sin(y)-\sin(x)\big)\\[4pt] &= e^{x}\big(\cos(x)-\sin(x)+\sin(y)\big). \end{aligned}
Expliquei: o primeiro termo vem de derivar e^{x} (que dá e^{x}) e manter \cos(x)+\sin(y); o segundo termo vem de e^{x} vezes a derivada de \cos(x), que é -\sin(x).]

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Agora x é tratado como constante. A única parte que depende de y é \sin(y). Então
\frac{\partial z}{\partial y} = e^{x}\cdot\cos(y).
Explicação: a derivada de \sin(y) em relação a y é \cos(y), e e^{x} passa como fator constante.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} e \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} (tratando t como constante).
Para x=\dfrac{t}{v}=t\cdot v^{-1}, a derivada em relação a v é
\frac{\partial x}{\partial v} = t\cdot(-1)v^{-2} = -\frac{t}{v^{2}}.
Para y=\dfrac{v}{t^{2}}= \frac{1}{t^{2}}\cdot v, com t fixo,
\frac{\partial y}{\partial v} = \frac{1}{t^{2}}.
Observação: ao derivar potências usei a regra \dfrac{d}{dv}v^{n}=nv^{n-1} e ao derivar uma constante vezes v apenas a constante permanece.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia e substituir os termos calculados.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial v}.
Substituindo \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=e^{x}\big(\cos(x)-\sin(x)+\sin(y)\big), \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v}=-\dfrac{t}{v^{2}}, \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=e^{x}\cos(y) e \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v}=\dfrac{1}{t^{2}}, temos
\frac{\partial z}{\partial v} = e^{x}\big(\cos(x)-\sin(x)+\sin(y)\big)\!\left(-\frac{t}{v^{2}}\right) + e^{x}\cos(y)\!\left(\frac{1}{t^{2}}\right).

Passo 7

Fatorar e^{x} para simplificar e depois substituir x=\dfrac{t}{v} e y=\dfrac{v}{t^{2}} para escrever a resposta em termos de t e v:
\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial v} &= e^{x}\left[-\frac{t}{v^{2}}\big(\cos(x)-\sin(x)+\sin(y)\big)+\frac{1}{t^{2}}\cos(y)\right]\\[6pt] &= e^{\tfrac{t}{v}}\left[-\frac{t}{v^{2}}\Big(\cos\!\big(\tfrac{t}{v}\big)-\sin\!\big(\tfrac{t}{v}\big)+\sin\!\big(\tfrac{v}{t^{2}}\big)\Big) +\frac{1}{t^{2}}\cos\!\big(\tfrac{v}{t^{2}}\big)\right]. \end{aligned}
Pronto — essa é a expressão da derivada parcial de z em relação a v, com t tratada como constante.]

Resposta

\frac{\partial z}{\partial v} = e^{\tfrac{t}{v}}\left[-\frac{t}{v^{2}}\Big(\cos\!\big(\tfrac{t}{v}\big)-\sin\!\big(\tfrac{t}{v}\big)+\sin\!\big(\tfrac{v}{t^{2}}\big)\Big) +\frac{1}{t^{2}}\cos\!\big(\tfrac{v}{t^{2}}\big)\right]

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