Determine a derivada total
de
Passo 1
O enunciado dá a função
com as relações
A pergunta é: determinar a derivada total (parcial, tratando
como constante)
ou seja, encontrar
em função de
e
.
Informações importantes listadas:
Informações importantes listadas:
Passo 2
Qual é a ideia para encontrar
? Quando
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. A fórmula (mantendo
constante) é
Aqui
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
considerando
independentes; e
são as derivadas de
e
em relação a
(com
fixo). Vou calcular cada termo separadamente e depois juntar tudo.
Passo 3
Calcular
.
Começo de
(uso
no LaTeX para
). Ao derivar em relação a
aplico a regra do produto: derivada de
vezes o segundo fator mais
vezes a derivada do segundo fator em relação a
. Note que
é tratado como constante ao derivar em
(porque é função de
, não de
). Assim,
Expliquei: o primeiro termo vem de derivar
(que dá
) e manter
; o segundo termo vem de
vezes a derivada de
, que é
.]
Passo 4
Calcular
.
Agora
é tratado como constante. A única parte que depende de
é
. Então
Explicação: a derivada de
em relação a
é
, e
passa como fator constante.
Passo 5
Calcular
e
(tratando
como constante).
Para
, a derivada em relação a
é
Para
, com
fixo,
Observação: ao derivar potências usei a regra
e ao derivar uma constante vezes
apenas a constante permanece.
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia e substituir os termos calculados.
Pela regra da cadeia:
Substituindo
,
,
e
, temos
Passo 7
Fatorar
para simplificar e depois substituir
e
para escrever a resposta em termos de
e
:
Pronto — essa é a expressão da derivada parcial de
em relação a
, com
tratada como constante.]