Calcule os integray:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas e observações úteis:
- A função a integrar é a função racional
. - O denominador é um polinômio quadrático
. - O grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador ( ), então já temos uma forma “própria” e podemos tentar decomposição em frações parciais depois de fatorar o denominador.
Passo 2
Factorizar o denominador para ver se ele se separa em fatores lineares fáceis de tratar.
Explicação rápida de como achei isso: preciso de dois números cuja soma seja
(coeficiente do termo
) e cujo produto seja
(termo constante). Esses números são
e
, então o polinômio fatora como acima.
Passo 3
Como o denominador se fatorou em dois fatores lineares distintos, uso decomposição em frações parciais. Escrevo:
onde
e
são constantes a determinar. Essa técnica serve para transformar uma fração racional em soma de frações mais simples, cada uma com denominador linear, que são fáceis de integrar.
Multiplico ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial:
Passo 4
Resolvo a identidade para encontrar [A) e
. Primeiro expando o lado direito:
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante), obtemos o sistema linear:
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar (B]:
Logo
Substituindo em
:
Portanto
e
.]
Passo 5
Reescrevo a integral usando a decomposição encontrada:
Agora uso a fórmula básica de integrais: para uma constante
, temos
Essa fórmula vem da substituição
,
, que transforma a integral numa integral de
, cuja primitiva é
.
Passo 6
Integro termo a termo, tirando constantes multiplicativas para fora da integral:
Aplicando a fórmula do passo anterior:
Somando e acrescentando a constante de integração
:
Se quiser, pode combinar os logaritmos:
mas a forma separada é perfeitamente adequada e muitas vezes mais clara na prova.