Calcule os integray:
\int \frac{x}{x^{2}+5 x+4} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+5x+4}\,dx.
Informações dadas e observações úteis:
  • A função a integrar é a função racional \dfrac{x}{x^{2}+5x+4}.
  • O denominador é um polinômio quadrático \,x^{2}+5x+4.
  • O grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2), então já temos uma forma “própria” e podemos tentar decomposição em frações parciais depois de fatorar o denominador.

Passo 2

Factorizar o denominador para ver se ele se separa em fatores lineares fáceis de tratar.
x^{2}+5x+4 = (x+1)(x+4)
Explicação rápida de como achei isso: preciso de dois números cuja soma seja 5 (coeficiente do termo x) e cujo produto seja 4 (termo constante). Esses números são 1 e 4, então o polinômio fatora como acima.

Passo 3

Como o denominador se fatorou em dois fatores lineares distintos, uso decomposição em frações parciais. Escrevo:
\frac{x}{(x+1)(x+4)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+4},
onde A e B são constantes a determinar. Essa técnica serve para transformar uma fração racional em soma de frações mais simples, cada uma com denominador linear, que são fáceis de integrar.
Multiplico ambos os lados por (x+1)(x+4) para obter uma identidade polinomial:
x = A(x+4) + B(x+1).

Passo 4

Resolvo a identidade para encontrar [A) e B. Primeiro expando o lado direito:
x = A x + 4A + B x + B = (A+B)x + (4A + B).
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de x e termo constante), obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] 4A + B = 0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar (B]:
(4A + B) - (A + B) = 0 - 1 \quad\Longrightarrow\quad 3A = -1.
Logo
A = -\frac{1}{3}.
Substituindo em A + B = 1:
-\frac{1}{3} + B = 1 \quad\Longrightarrow\quad B = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.
Portanto A = -\dfrac{1}{3} e B = \dfrac{4}{3}.]

Passo 5

Reescrevo a integral usando a decomposição encontrada:
\int \frac{x}{x^{2}+5x+4}\,dx = \int\!\left(\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+4}\right)\,dx = \int\!\left(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{x+4}\right)\,dx.
Agora uso a fórmula básica de integrais: para uma constante a, temos
\int \frac{1}{x+a}\,dx = \ln\lvert x+a\rvert + C.
Essa fórmula vem da substituição u = x+a, du = dx, que transforma a integral numa integral de 1/u, cuja primitiva é \ln|u|.

Passo 6

Integro termo a termo, tirando constantes multiplicativas para fora da integral:
\int \frac{x}{x^{2}+5x+4}\,dx = -\frac{1}{3}\int \frac{1}{x+1}\,dx + \frac{4}{3}\int \frac{1}{x+4}\,dx.
Aplicando a fórmula do passo anterior:
-\frac{1}{3}\int \frac{1}{x+1}\,dx = -\frac{1}{3}\ln\lvert x+1\rvert,
\frac{4}{3}\int \frac{1}{x+4}\,dx = \frac{4}{3}\ln\lvert x+4\rvert.
Somando e acrescentando a constante de integração C:
\int \frac{x}{x^{2}+5x+4}\,dx = -\frac{1}{3}\ln\lvert x+1\rvert + \frac{4}{3}\ln\lvert x+4\rvert + C.
Se quiser, pode combinar os logaritmos:
-\frac{1}{3}\ln\lvert x+1\rvert + \frac{4}{3}\ln\lvert x+4\rvert = \frac{1}{3}\ln\left\lvert\frac{(x+4)^{4}}{x+1}\right\rvert,
mas a forma separada é perfeitamente adequada e muitas vezes mais clara na prova.

Resposta

-\dfrac{1}{3}\ln\lvert x+1\rvert+\dfrac{4}{3}\ln\lvert x+4\rvert+C

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