Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\cos (x) \operatorname{sen}(x) x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x\cos(x)\sin(x)
e pede a sua derivada. O conteúdo aqui é a regra do produto de funções.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, identificamos
u(x)=x \quad\text{e}\quad v(x)=\cos(x)\,\sin(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de u:
u'(x)=1.

Passo 4

Agora usamos a regra do produto para v(x)=\cos(x)\,\sin(x). Definimos
a(x)=\cos(x), \quad b(x)=\sin(x),
então
v'(x)=a'(x)\,b(x)+a(x)\,b'(x) =-\sin(x)\,\sin(x)+\cos(x)\,\cos(x) =\cos^2(x)-\sin^2(x).

Passo 5

Aplicando a regra do produto em f(x)=u(x)\,v(x), temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =1\cdot\bigl[\cos(x)\sin(x)\bigr] +x\bigl[\cos^2(x)-\sin^2(x)\bigr].

Passo 6

Opcionalmente, usando as fórmulas de ângulo duplo
\cos(x)\sin(x)=\tfrac12\sin(2x), \quad \cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x),
podemos escrever
f'(x)=\tfrac12\sin(2x)+x\cos(2x).

Resposta

f'(x)=\cos(x)\sin(x)+x\bigl[\cos^2(x)-\sin^2(x)\bigr]
ou, equivalentemente,
f'(x)=\tfrac12\sin(2x)+x\cos(2x).

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