Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\cos (x) \log (x) x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\cos(x)\,\log(x)\,x.
O conteúdo que vamos usar inclui: regra do produto para três funções e as derivadas básicas de \cos(x), \log(x) e x.

Passo 2

Devemos reconhecer três fatores em f(x):
u(x)=\cos(x),\quad v(x)=\log(x),\quad w(x)=x.

Passo 3

Calculamos as derivadas individuais:
u'(x)=-\sin(x),\quad v'(x)=\frac{1}{x},\quad w'(x)=1.

Passo 4

A regra do produto para três funções diz que
(fgh)' = f'\,g\,h + f\,g'\,h + f\,g\,h'.
Aplicando-a a u(x)\,v(x)\,w(x), temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)\,w(x) +u(x)\,v'(x)\,w(x) +u(x)\,v(x)\,w'(x).

Passo 5

Substituindo cada termo:
f'(x) =-\sin(x)\,\log(x)\,x +\cos(x)\,\frac{1}{x}\,x +\cos(x)\,\log(x)\,1.
Simplificando o segundo termo ( \frac{1}{x}\,x=1):
f'(x)=-x\,\log(x)\,\sin(x) +\cos(x) +\cos(x)\,\log(x).
Podemos também agrupar os termos com \cos(x):
f'(x)=\cos(x)\bigl(1+\log(x)\bigr)-x\,\log(x)\,\sin(x).

Resposta

f'(x)=\cos(x)\bigl(1+\log(x)\bigr)-x\,\log(x)\,\sin(x).

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