Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{\log _{2}(x)}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{\log_{2}(x)}{x^{2}}.
Aqui vamos usar derivação de quociente e a regra da derivada do logaritmo de base 2, sabendo que
\log_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)}.

Passo 2

Definimos
g(x)=\log_{2}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(2)}, \qquad h(x)=x^{2}.
Para derivar g(x) usamos a regra da cadeia e a derivada de \ln(x). Para h(x) a potência.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
g'(x)=\frac{1}{x\,\ln(2)}, \qquad h'(x)=2x.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente
f'(x) =\frac{g'(x)\,h(x)-g(x)\,h'(x)}{\bigl(h(x)\bigr)^{2}} =\frac{\frac{1}{x\ln(2)}\cdot x^{2}-\frac{\ln(x)}{\ln(2)}\cdot 2x}{(x^{2})^{2}}.

Passo 5

No numerador temos
\frac{x^{2}}{x\ln(2)}-\frac{2x\ln(x)}{\ln(2)} =\frac{x-2x\ln(x)}{\ln(2)} =\frac{x\bigl(1-2\ln(x)\bigr)}{\ln(2)},
e o denominador é x^{4}. Logo
f'(x) =\frac{\frac{x\bigl(1-2\ln(x)\bigr)}{\ln(2)}}{x^{4}} =\frac{1-2\ln(x)}{\ln(2)\,x^{3}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1-2\ln(x)}{\ln(2)\,x^{3}}.

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