Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}.

Passo 1

Temos a função
f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x},
e queremos f'(x). O conteúdo usado será a regra do quociente e a derivada de \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Definimos as funções
u(x)=\operatorname{sen}(x), \quad v(x)=x.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=\cos(x), \quad v'(x)=1.

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{\cos(x)\cdot x-\operatorname{sen}(x)\cdot1}{x^2}.

Passo 5

Podemos escrever de forma mais elegante:
f'(x)=\frac{x\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{x^2}, \quad x\neq0.

Resposta

f'(x)=\frac{x\cos(x)-\operatorname{sen}(x)}{x^2}.

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