Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=\frac{-3 y}{x^{2}+y^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y) = \frac{-3\,y}{x^{2}+y^{2}+1}.
O conteúdo envolvido é a regra do quociente para derivadas parciais. Vamos chamar o numerador de
u(x,y) = -3\,y
e o denominador de
g(x,y) = x^{2} + y^{2} + 1.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} usamos
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{u_x\,g - u\,g_x}{g^{2}}.
Aqui
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(-3\,y) = 0, \quad g_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2+1) = 2x.
Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{0 \cdot g - (-3y)\cdot(2x)}{(x^2+y^2+1)^2} = \frac{6\,x\,y}{(x^2+y^2+1)^2}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} usamos
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{u_y\,g - u\,g_y}{g^{2}}.
Aqui
u_y = \frac{\partial}{\partial y}(-3\,y) = -3, \quad g_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2+1) = 2y.
Substituindo,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(-3)(x^2+y^2+1) - (-3y)\cdot(2y)}{(x^2+y^2+1)^2} = \frac{-3x^2 - 3y^2 - 3 + 6y^2}{(x^2+y^2+1)^2} = \frac{3\,(y^2 - x^2 - 1)}{(x^2+y^2+1)^2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{6\,x\,y}{(x^2+y^2+1)^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{3\,(y^2 - x^2 - 1)}{(x^2+y^2+1)^2}.

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