Determine as derivadas parciais das funções:
f(x, y)=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
f(x,y)=\frac{\sqrt{x+y+1}}{x-1}
ou seja, \partial f/\partial x e \partial f/\partial y. Vamos usar regra do quociente ou produto, junto com a derivada de raiz.

Passo 2

Definimos
g(x,y)=\sqrt{x+y+1}=(x+y+1)^{\tfrac12}, \quad h(x)=\frac1{x-1}=(x-1)^{-1}.
Então
g_x=\frac12(x+y+1)^{-\tfrac12}, \quad g_y=\frac12(x+y+1)^{-\tfrac12}, \quad h_x=-(x-1)^{-2}.

Passo 3

Usando f=g\cdot h, temos
f_x=g_x\,h+g\,h_x =\frac12(x+y+1)^{-\tfrac12}\,(x-1)^{-1} -\,(x+y+1)^{\tfrac12}\,(x-1)^{-2}.
Colocando sobre denominador comum 2(x-1)^2\sqrt{x+y+1}, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{(x-1)-2(x+y+1)}{2(x-1)^2\sqrt{x+y+1}} =\frac{-x-2y-3}{2(x-1)^2\sqrt{x+y+1}}.

Passo 4

Para \partial f/\partial y basta derivar g em y e manter h inalterado:
\frac{\partial f}{\partial y} =g_y\,h =\frac12(x+y+1)^{-\tfrac12}\,(x-1)^{-1} =\frac1{2(x-1)\sqrt{x+y+1}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{-x -2y -3}{2\,(x-1)^{2}\,\sqrt{x+y+1}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2\,(x-1)\,\sqrt{x+y+1}}.

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