Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=arctg(y / x) ; fx(2,3)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=arctgl(tfracyxr)
e pede a derivada parcial fx(2,3). O conteúdo principal é derivada parcial via regra da cadeia e conhecimento da derivada de arctg(u).

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, introduzimos
u(x,y)=yx,
de modo que
f(x,y)=arctgl(u(x,y)r)
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partial fpartial x =11+u^2;partial upartial x

Passo 3

Calculamos partial upartial x. Como u=y,x^-1,
partial upartial x =y;partialpartial xl(x^-1r) =y;(-1),x^-2 =-yx^2

Passo 4

Substituindo em partial fpartial x, com u=y/x, temos
11+u^2 =11+(y/x)^2 =x^2x^2+y^2
e portanto
partial fpartial x =x^2x^2+y^2;l(-yx^2r) =-yx^2+y^2

Passo 5

Finalmente, para (x,y)=(2,3),
fx(2,3) =-32^2+3^2 =-34+9 =-313

Resposta

-313

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