Determine as derivadas parciais de 1^{2} ordem de cada uma das seguintes funçōes:
f(x, y)=e^{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=e^{x^{2}y}.
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Para achar \dfrac{\partial f}{\partial x}, note que f(x,y)=e^{u} com u=x^{2}y. Então
\frac{\partial f}{\partial x} =e^{u}\frac{\partial u}{\partial x} =e^{x^{2}y}\cdot(2x y) =2xy\,e^{x^{2}y}.

Passo 3

Para achar \dfrac{\partial f}{\partial y}, uso a mesma ideia com u=x^{2}y:
\frac{\partial f}{\partial y} =e^{u}\frac{\partial u}{\partial y} =e^{x^{2}y}\cdot(x^{2}) =x^{2}e^{x^{2}y}.

Passo 4

Agora \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}. Parto de \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy\,e^{x^{2}y}
e aplico regra do produto e cadeia:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy\,e^{x^{2}y}\bigr) =2y\,e^{x^{2}y}+2xy\cdot(2xy\,e^{x^{2}y}) =e^{x^{2}y}\bigl(2y+4x^{2}y^{2}\bigr).

Passo 5

Para \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}, derivo \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy\,e^{x^{2}y} em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\,e^{x^{2}y}\bigr) =2x\,e^{x^{2}y}+2xy\cdot(x^{2}e^{x^{2}y}) =e^{x^{2}y}\bigl(2x+2x^{3}y\bigr).
Pela igualdade das derivadas mistas, \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}.

Passo 6

Para \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}, derivo \dfrac{\partial f}{\partial y}=x^{2}e^{x^{2}y} em relação a y:
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =x^{2}\cdot(x^{2}e^{x^{2}y}) =x^{4}e^{x^{2}y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=2xy\,e^{x^{2}y},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}e^{x^{2}y},
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} =e^{x^{2}y}\bigl(2y+4x^{2}y^{2}\bigr),\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} =e^{x^{2}y}\bigl(2x+2x^{3}y\bigr),\quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} =x^{4}e^{x^{2}y}.

Exercícios relacionados