Determine as derivadas parciais de 1^{2} ordem de cada uma das seguintes funçōes:
f(x, y)=e^{5 x}+\frac{e^{-4 y}}{2}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(x,y)=e^{5x}+\frac{e^{-4y}}{2}.
O conteúdo envolvido é cálculo de derivadas parciais e aplicação da regra da cadeia. Vamos obter primeiro \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}, depois as segundas \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} e as mistas \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem usando que \frac{d}{dx}e^{ax}=a\,e^{ax} e \frac{d}{dy}e^{by}=b\,e^{by}.
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{5x}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{e^{-4y}}{2}\Bigr) =5\,e^{5x}+0 =5\,e^{5x},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{5x}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\tfrac{e^{-4y}}{2}\Bigr) =0+\tfrac{1}{2}\cdot(-4)\,e^{-4y} =-2\,e^{-4y}.

Passo 3

Agora as derivadas de segunda ordem puras:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(5\,e^{5x}\bigr) =25\,e^{5x},
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2\,e^{-4y}\bigr) =-2\cdot(-4)\,e^{-4y} =8\,e^{-4y}.

Passo 4

E as derivadas mistas. Como cada termo depende só de uma variável, todas as mistas são nulas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(5\,e^{5x}\bigr) =0, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2\,e^{-4y}\bigr) =0.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=5\,e^{5x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=-2\,e^{-4y},
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=25\,e^{5x},\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=8\,e^{-4y},
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=0.

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