Determine as derivadas parciais de 1^{a} ordem das funções indicadas abaixo:
z=\operatorname{sen}\left(x^{2}+3 x y^{2}\right)-\cos (2 x-y)

Passo 1

O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Informações fornecidas:
z=\operatorname{sen}\!\left(x^{2}+3 x y^{2}\right)-\cos(2x-y).
Perguntas explícitas que vamos responder:
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}.

Passo 2

Vamos revisar as regras que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
  • Derivada de funções trigonométricas (regra básica): \frac{d}{du}\sin(u)=\cos(u),\qquad \frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).Aqui u é uma função qualquer de x e/ou y.
  • Regra da cadeia (para função composta): se w=f(u) e u=g(x,y), então \frac{\partial w}{\partial x}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=f'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.Ou seja, derivamos a função exterior e multiplicamos pela derivada parcial da função interior.
  • Derivada parcial: ao calcular \partial/\partial x tratamos y como constante; ao calcular \partial/\partial y tratamos x como constante.

Passo 3

Identificamos as funções interiores (as “u” e “v” da regra da cadeia):
u(x,y)=x^{2}+3xy^{2},\qquad v(x,y)=2x-y,
de modo que
z=\sin(u)-\cos(v).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
  • Para u(x,y)=x^{2}+3xy^{2}: \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(3xy^{2}\big)=2x+3y^{2},porque \partial(x^{2})/\partial x=2x e, tratando y como constante, \partial(3xy^{2})/\partial x=3y^{2}. \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(3xy^{2}\big)=0+3x\cdot 2y=6xy,porque \partial(x^{2})/\partial y=0 (x constante) e \partial(3xy^{2})/\partial y=3x\cdot 2y.
  • Para v(x,y)=2x-y: \frac{\partial v}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=-1.

Passo 5

Aplicamos a regra da cadeia na parte \sin(u):
  • Derivada parcial em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}\sin(u)=\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\cos\!\big(x^{2}+3xy^{2}\big)\cdot\big(2x+3y^{2}\big).Aqui usamos que \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u) e multiplicamos por \partial u/\partial x.
  • Derivada parcial em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}\sin(u)=\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=\cos\!\big(x^{2}+3xy^{2}\big)\cdot(6xy).

Passo 6

Agora tratamos a parte -\cos(v). Primeiro veja a derivada de \cos(v) pela regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\cos(v)=-\sin(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial x},\qquad \frac{\partial}{\partial y}\cos(v)=-\sin(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial y}.
Como temos um sinal negativo na frente (a função é -\cos(v)), ao derivar obtemos o oposto desses resultados:
  • Derivada parcial em relação a x: \frac{\partial}{\partial x}\big(-\cos(v)\big)=-\left(-\sin(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial x}\right)=\sin(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial x}.Substituindo \partial v/\partial x=2: \frac{\partial}{\partial x}\big(-\cos(v)\big)=2\sin(2x-y).
  • Derivada parcial em relação a y: \frac{\partial}{\partial y}\big(-\cos(v)\big)=-\left(-\sin(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial y}\right)=\sin(v)\cdot\frac{\partial v}{\partial y}.Substituindo \partial v/\partial y=-1: \frac{\partial}{\partial y}\big(-\cos(v)\big)=-\sin(2x-y).

Passo 7

Agora somamos as contribuições das duas parcelas ( \sin(u) e -\cos(v)) para obter as derivadas parciais de z.

Passo 8

Derivada parcial de primeira ordem em relação a x:
\frac{\partial z}{\partial x}=\cos\!\big(x^{2}+3xy^{2}\big)\cdot\big(2x+3y^{2}\big)+2\sin(2x-y).

Passo 9

Derivada parcial de primeira ordem em relação a y:
\frac{\partial z}{\partial y}=\cos\!\big(x^{2}+3xy^{2}\big)\cdot(6xy)-\sin(2x-y).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\cos\!\big(x^{2}+3xy^{2}\big)\,(2x+3y^{2})+2\sin(2x-y)
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=6xy\cos\!\big(x^{2}+3xy^{2}\big)-\sin(2x-y)

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