Determine as derivadas parciais de
ordem das funções indicadas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função dada. Informações fornecidas:
Perguntas explícitas que vamos responder:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Vamos revisar as regras que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa):
- Derivada de funções trigonométricas (regra básica):
Aqui é uma função qualquer de e/ou . - Regra da cadeia (para função composta): se
e , então Ou seja, derivamos a função exterior e multiplicamos pela derivada parcial da função interior. - Derivada parcial: ao calcular
tratamos como constante; ao calcular tratamos como constante.
Passo 3
Identificamos as funções interiores (as “u” e “v” da regra da cadeia):
de modo que
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
- Para
: porque e, tratando como constante, . porque (x constante) e . - Para
:
Passo 5
Aplicamos a regra da cadeia na parte
:
- Derivada parcial em relação a
: Aqui usamos que e multiplicamos por . - Derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Agora tratamos a parte
. Primeiro veja a derivada de
pela regra da cadeia:
Como temos um sinal negativo na frente (a função é
), ao derivar obtemos o oposto desses resultados:
- Derivada parcial em relação a
: Substituindo : - Derivada parcial em relação a
: Substituindo :
Passo 7
Agora somamos as contribuições das duas parcelas (
e
) para obter as derivadas parciais de
.
Passo 8
Derivada parcial de primeira ordem em relação a
:
Passo 9
Derivada parcial de primeira ordem em relação a
: