Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
w=3 x^{2}+4 y^{5}-3 z^{3}+3 x y z^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
w = 3 x^{2} + 4 y^{5} - 3 z^{3} + 3 x y z^{2}.
Informações dadas:
\;w é uma função de três variáveis \;x,y,z.
Queremos calcular as três derivadas parciais de primeira ordem:
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x},\;\frac{\partial w}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}.

Passo 2

O que é derivada parcial e como vamos pensar nela (explicação didática e tranquila).
A derivada parcial de \;w em relação a uma variável, por exemplo \;x, mede como \;w varia quando só mudamos \;x e mantemos as outras variáveis ( \;y e \;z) fixas. Em símbolos:
\frac{\partial w}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{w(x+h,y,z)-w(x,y,z)}{h}.
Na prática, para calcular \partial/\partial x basta:
  • Tratar \;y e \;z como constantes;
  • Diferenciar cada termo que depende de \;x usando regras básicas (regra do poder, multiplicar por constantes etc.);
  • Termos que não dependem de \;x têm derivada parcial zero.
Vou usar essa ideia (tratar as outras variáveis como constantes) porque é o método mais direto e o que aparece em provas.

Passo 3

Revisão rápida das regras de diferenciação que usaremos (com exemplos simples).
  1. Regra do múltiplo constante:
\frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x),
onde c é constante. Ex.: \dfrac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot\dfrac{d}{dx}(x^{2}).
  1. Regra da potência (power rule):
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1},
para n real. Ex.: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x, \dfrac{d}{dx}(y^{5})=5y^{4} quando derivamos em relação a y.
  1. Se uma expressão é produto de fatores e estivermos diferenciando em relação a uma variável que aparece em apenas um fator, podemos simplesmente tratar os outros fatores como constantes e multiplicar. Por exemplo, para \dfrac{\partial}{\partial x}(3 x y z^{2}) notamos que y e z são constantes ao derivar em x, então
\frac{\partial}{\partial x}(3 x y z^{2})=3 y z^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x)=3 y z^{2}.
(Se preferir, dá para aplicar a regra do produto completa, mas aqui esse truque é mais curto.)

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial x} termo a termo (explicando cada termo).
Escrevemos a função e diferenciamos com respeito a \;x, mantendo \;y,z constantes:
w = 3 x^{2} + 4 y^{5} - 3 z^{3} + 3 x y z^{2}.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(3 x^{2}\big)=3\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=3\cdot 2x=6x. (usei a regra do múltiplo constante e a regra da potência)
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(4 y^{5}\big)=0 porque \;4 y^{5} não depende de \;x (tratamos \;y como constante).
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(-3 z^{3}\big)=0 porque não depende de \;x.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(3 x y z^{2}\big)=3 y z^{2} porque 3 y z^{2} é constante em relação a \;x e \dfrac{d}{dx}(x)=1.
Somando os resultados:
\frac{\partial w}{\partial x}=6x + 0 + 0 + 3 y z^{2}=6x + 3 y z^{2}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial y} termo a termo (explicando cada termo).
Agora diferenciamos com respeito a \;y, mantendo \;x,z constantes.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(3 x^{2}\big)=0 pois 3 x^{2} não depende de \;y.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(4 y^{5}\big)=4\cdot\frac{d}{dy}(y^{5})=4\cdot 5 y^{4}=20 y^{4}.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(-3 z^{3}\big)=0 pois não depende de \;y.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(3 x y z^{2}\big)=3 x z^{2} porque 3 x z^{2} é constante em relação a \;y e \dfrac{d}{dy}(y)=1.
Somando:
\frac{\partial w}{\partial y}=0 + 20 y^{4} + 0 + 3 x z^{2}=20 y^{4} + 3 x z^{2}.

Passo 6

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial w}{\partial z} termo a termo (explicando cada termo).
Agora diferenciamos com respeito a \;z, mantendo \;x,y constantes.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\big(3 x^{2}\big)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\big(4 y^{5}\big)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\big(-3 z^{3}\big)=-3\cdot\frac{d}{dz}(z^{3})=-3\cdot 3 z^{2}=-9 z^{2}.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\big(3 x y z^{2}\big)=3 x y\cdot\frac{d}{dz}(z^{2})=3 x y\cdot 2 z=6 x y z.
Somando:
\frac{\partial w}{\partial z}=0 + 0 - 9 z^{2} + 6 x y z = -9 z^{2} + 6 x y z.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial x}=6x+3y z^{2} \n
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial y}=20 y^{4}+3 x z^{2} \n
\displaystyle \frac{\partial w}{\partial z}=-9 z^{2}+6 x y z

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