Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
Informações dadas:
é uma função de três variáveis
.
Queremos calcular as três derivadas parciais de primeira ordem:
e
Queremos calcular as três derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 2
O que é derivada parcial e como vamos pensar nela (explicação didática e tranquila).
A derivada parcial de em relação a uma variável, por exemplo
, mede como
varia quando só mudamos
e mantemos as outras variáveis (
e
) fixas. Em símbolos:
A derivada parcial de
Na prática, para calcular
basta:
- Tratar
e como constantes; - Diferenciar cada termo que depende de
usando regras básicas (regra do poder, multiplicar por constantes etc.); - Termos que não dependem de
têm derivada parcial zero.
Vou usar essa ideia (tratar as outras variáveis como constantes) porque é o método mais direto e o que aparece em provas.
Passo 3
Revisão rápida das regras de diferenciação que usaremos (com exemplos simples).
- Regra do múltiplo constante:
onde
é constante. Ex.:
.
- Regra da potência (power rule):
para
real. Ex.:
,
quando derivamos em relação a
.
- Se uma expressão é produto de fatores e estivermos diferenciando em relação a uma variável que aparece em apenas um fator, podemos simplesmente tratar os outros fatores como constantes e multiplicar. Por exemplo, para
notamos que e são constantes ao derivar em , então
(Se preferir, dá para aplicar a regra do produto completa, mas aqui esse truque é mais curto.)
Passo 4
Cálculo de
termo a termo (explicando cada termo).
Escrevemos a função e diferenciamos com respeito a , mantendo
constantes:
Escrevemos a função e diferenciamos com respeito a
-
(usei a regra do múltiplo constante e a regra da potência) -
porque não depende de (tratamos como constante). -
porque não depende de . -
porque é constante em relação a e .
Somando os resultados:
Passo 5
Cálculo de
termo a termo (explicando cada termo).
Agora diferenciamos com respeito a , mantendo
constantes.
Agora diferenciamos com respeito a
-
pois não depende de . -
-
pois não depende de . -
porque é constante em relação a e .
Somando:
Passo 6
Cálculo de
termo a termo (explicando cada termo).
Agora diferenciamos com respeito a , mantendo
constantes.
Agora diferenciamos com respeito a
Somando: