Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. As informações dadas são:
Perguntas explícitas que o enunciado faz:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
O que é derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, mede como
varia quando alteramos
mantendo
fixo. De modo análogo,
mede a variação de
quando alteramos
mantendo
fixo. Na prática, ao calcular
tratamos
como uma constante; ao calcular
tratamos
como constante.
Passo 3
Regra que vamos usar (cadeia + exponencial): se temos uma função composta
, a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo
) obedece à regra da cadeia:
Explicando: a derivada da exponencial
em relação a
é
; por isso multiplicamos pelo derivado do “interno”
em relação à variável que queremos.
Passo 4
Identificar o “interno” e derivá‑lo: aqui
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Tratando
como constante, o termo
tem derivada
em relação a
. A derivada de
em relação a
é
. Logo
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para
: usando o resultado do passo anterior,
Substituindo
e
,
Normalmente escrevemos multiplicando o escalar na frente:
Passo 6
Calcular
passo a passo: primeiro a derivada parcial de
em relação a
:
Agora tratamos
como constante; a derivada de
em relação a
é
. A derivada de
em relação a
é
. Logo
Aplicando a regra da cadeia para
,
Escrevendo de forma habitual:
Passo 7
Pequena verificação numérica (opcional, para ganhar confiança): por exemplo, em
,
Isto bate com as fórmulas que obtivemos.