Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
f(x, y)=e^{\left(3 x-y^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função f. As informações dadas são:
f(x,y)=e^{\left(3x-y^{2}\right)}.
Perguntas explícitas que o enunciado faz:
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y).
  • Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).

Passo 2

O que é derivada parcial (explicação didática): a derivada parcial de f em relação a x, escrita \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, mede como f varia quando alteramos x mantendo y fixo. De modo análogo, \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} mede a variação de f quando alteramos y mantendo x fixo. Na prática, ao calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos y como uma constante; ao calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x como constante.

Passo 3

Regra que vamos usar (cadeia + exponencial): se temos uma função composta \displaystyle f(x,y)=e^{g(x,y)}, a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo x) obedece à regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}e^{g(x,y)} = e^{g(x,y)}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}.
Explicando: a derivada da exponencial \exp(u) em relação a u é \exp(u); por isso multiplicamos pelo derivado do “interno” g(x,y) em relação à variável que queremos.

Passo 4

Identificar o “interno” e derivá‑lo: aqui
g(x,y)=3x-y^{2}.
Vamos calcular as derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x-y^{2}\bigr).
Tratando y como constante, o termo -y^{2} tem derivada 0 em relação a x. A derivada de 3x em relação a x é 3. Logo
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=3.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}: usando o resultado do passo anterior,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{g(x,y)}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}(x,y).
Substituindo g e \dfrac{\partial g}{\partial x},
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=e^{\left(3x-y^{2}\right)}\cdot 3.
Normalmente escrevemos multiplicando o escalar na frente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3\,e^{\left(3x-y^{2}\right)}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} passo a passo: primeiro a derivada parcial de g em relação a y:
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x-y^{2}\bigr).
Agora tratamos x como constante; a derivada de 3x em relação a y é 0. A derivada de -y^{2} em relação a y é -2y. Logo
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=-2y.
Aplicando a regra da cadeia para f,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=e^{g(x,y)}\cdot \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=e^{\left(3x-y^{2}\right)}\cdot(-2y).
Escrevendo de forma habitual:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2y\,e^{\left(3x-y^{2}\right)}.

Passo 7

Pequena verificação numérica (opcional, para ganhar confiança): por exemplo, em (x,y)=(0,1),
f(0,1)=e^{(3\cdot 0-1^{2})}=e^{-1},
\frac{\partial f}{\partial x}(0,1)=3e^{-1}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,1)=-2\cdot 1\cdot e^{-1}=-2e^{-1}.
Isto bate com as fórmulas que obtivemos.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3\,e^{\left(3x-y^{2}\right)}\n \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-2y\,e^{\left(3x-y^{2}\right)}

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