Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
f(x, y)=\ln \left[\cos \left(3 x^{2}-y^{3}\right)\right]

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\ln\big[\cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)\big]
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Informações relevantes: a função é real apenas quando \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)>0 (pois temos um \ln real) e, ao derivar, iremos dividir por \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big), então precisamos também de \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)\neq 0.

Passo 2

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}. Estratégia (explicando a ideia): trata-se de uma composição de funções, então usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. Primeiro escrevemos a composição em camadas:
u(x,y)=3x^{2}-y^{3},
g(u)=\cos(u),
f(x,y)=\ln\big(g(u(x,y))\big).
A regra da cadeia nos diz que, ao derivar em relação a x mantendo y fixo,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{du}\big(\ln(g(u))\big)\Big|_{u=u(x,y)} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
Agora calculemos cada pedaço cuidadosamente.

Passo 3

Derivadas das camadas (mostrando como obter cada uma):
  • Para h(u)=\ln(g(u)) temos h'(u)=\dfrac{g'(u)}{g(u)} porque \dfrac{d}{du}\ln(g(u))=\dfrac{1}{g(u)}\cdot g'(u).
  • Para g(u)=\cos(u) temos g'(u)=-\sin(u).
  • Para u(x,y)=3x^{2}-y^{3} temos \dfrac{\partial u}{\partial x}=6x (pois y é tratado como constante ao derivar em x).
Juntando:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{g'(u)}{g(u)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-\sin(u)}{\cos(u)}\cdot 6x.
Agora substituímos u=3x^{2}-y^{3} e simplificamos \dfrac{-\sin(u)}{\cos(u)}=-\tan(u). Assim
\frac{\partial f}{\partial x} = -6x\,\tan\big(3x^{2}-y^{3}\big).

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y} seguindo exatamente a mesma ideia: regra da cadeia, mas derivando u em relação a y (agora x é constante).
Temos já g'(u)=-\sin(u) e a relação para f como antes, então
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{g'(u)}{g(u)}\cdot \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{-\sin(u)}{\cos(u)}\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big(3x^{2}-y^{3}\big).
Calculando \dfrac{\partial u}{\partial y}=-3y^{2} (note o sinal: derivada de -y^{3} é -3y^{2}). Portanto
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-\sin(u)}{\cos(u)}\cdot (-3y^{2}) = 3y^{2}\,\tan(u).
Substituindo u=3x^{2}-y^{3} obtemos
\frac{\partial f}{\partial y} = 3y^{2}\,\tan\big(3x^{2}-y^{3}\big).

Passo 5

Observações finais didáticas e de domínio: as fórmulas que obtivemos usam \tan\big(3x^{2}-y^{3}\big), ou seja implicam divisão por \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big). Portanto as derivadas parciais existem (na forma real que escrevemos) nos pontos em que \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)>0 (domínio da função) — em particular \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)\neq 0. Um exemplo rápido para fixar: avaliando em (x,y)=(1,0) temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0)=-6\cdot1\cdot\tan(3) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=0 porque y=0 dá fator 3y^{2}=0.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x} = -6x\,\tan\big(3x^{2}-y^{3}\big)
\dfrac{\partial f}{\partial y} = 3y^{2}\,\tan\big(3x^{2}-y^{3}\big)

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