Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Informações dadas e observações úteis:
Informações dadas e observações úteis:
- A função tem duas variáveis independentes:
e . - Queremos
(derivada parcial em relação a , mantendo constante) e (derivada parcial em relação a , mantendo constante). - Para trabalhar com uma potência em que o expoente depende de
, é conveniente assumir e usar a transformação com o logaritmo natural. Isso evita problemas com potências não inteiras de números não positivos.
Passo 2
Reescrever a função usando exponencial e logaritmo para facilitar a diferenciação. A identidade que usamos é, para
e qualquer real
,
Aplicando aqui com
, obtemos
Isso é útil porque a derivada de uma exponencial composta é simples: se
, então
e
.
Passo 3
Calcular
.
Defina , de modo que
. Usando a regra da cadeia para derivadas parciais:
Defina
Agora calcule
mantendo
constante. Como
e
é constante nesse derivar,
Substituindo,
Mas
, logo
Explicando o passo algébrico final: multiplicar por
reduz o expoente em 1, por isso
.
Passo 4
Calcular
.
De novo, com e
,
De novo, com
Agora derive
em relação a
, mantendo
constante:
pois
é constante quando
é fixo. Então
Observação prática: se
, então
e
, o que é coerente porque
independe de
.