Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada função a seguir: f(x, y)=\ln \left[\cos \left(3 x^{2}-y^{3}\right)\right]
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=\ln\big[\cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)\big]
e pede para determinar as derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Informações relevantes: a função é real apenas quando \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)>0 (pois temos um \ln real) e, ao derivar, iremos dividir por \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big), então precisamos também de \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)\neq 0.
Passo 2
Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}. Estratégia (explicando a ideia): trata-se de uma composição de funções, então usamos a regra da cadeia para derivadas parciais. Primeiro escrevemos a composição em camadas:
u(x,y)=3x^{2}-y^{3},
g(u)=\cos(u),
f(x,y)=\ln\big(g(u(x,y))\big).
A regra da cadeia nos diz que, ao derivar em relação a x mantendo y fixo,
Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y} seguindo exatamente a mesma ideia: regra da cadeia, mas derivando u em relação a y (agora x é constante).
Temos já g'(u)=-\sin(u) e a relação para f como antes, então
Observações finais didáticas e de domínio: as fórmulas que obtivemos usam \tan\big(3x^{2}-y^{3}\big), ou seja implicam divisão por \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big). Portanto as derivadas parciais existem (na forma real que escrevemos) nos pontos em que \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)>0 (domínio da função) — em particular \cos\big(3x^{2}-y^{3}\big)\neq 0. Um exemplo rápido para fixar: avaliando em (x,y)=(1,0) temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,0)=-6\cdot1\cdot\tan(3) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,0)=0 porque y=0 dá fator 3y^{2}=0.